Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Unicamp - Física 3 – P3 2018.2 - NOTURNO - 12

Uma fonte alternada com frequência angular ω e amplitude ε m é ligada a um circuito em série que contém um capacitor, um indutor de indutância L e um resistor de resistência R .

  1. Para qual valor da reatância capacitiva a amplitude de voltagem através do indutor será máxima?
  2. Nas condições do item a) determine em função de ω , ε m , L e R :

  3. O valor da capacitância do capacitor;
  4. A amplitude de voltagem através do indutor;
  5. O valor correspondente da amplitude de voltagem através do capacitor;
  6. O valor correspondente da amplitude de voltagem através do resistor.

Passo 1

a) Para um circuito R L C em série, podemos escrever a diferença de potencial alternada ε ( t ) da fonte como

ε t = ε m cos ⁡ ω t   .

A corrente passando no circuito será dada por

i t = ε m Z cos ⁡ ( ω t - φ )   ,

sendo que a impedância Z e a fase φ são dados, respectivamente, por

Z = R 2 + X L - X C 2     ;   tan ⁡ φ = X L - X C R   .

Nessas expressões, X L = ω L e X C = 1 / ( ω C ) são as reatâncias indutiva e capacitiva, respectivamente.

A voltagem através do indutor depende da derivada da corrente em relação ao tempo e é dada por

V L = L d i d t = - ω L ε m Z sen ⁡ ω t - φ   .

A amplitude de V L , ou seja, o maior valor que essa voltagem pode ter, é V L m = ω L ε m / Z . Essa expressão depende de X C apenas através da impedância Z , como pode ser visto da expressão acima. Portanto, o maior valor de V L m ocorrerá quando Z for o menor valor possível.

Isso vai acontecer quando X C = X L = ω L , que é a condição para se ter a ressonância em um circuito R L C em série com fonte alternada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Como X C = X L = ω L , então

1 ω C = ω L     ⇒     C = 1 ω 2 L   .

Passo 3

c) Jogando X C = X L na expressão que a impedância que colocamos no Passo 1, temos Z = R e a amplitude da voltagem através do indutor será

V L m = ω L ε m R   .

Passo 4

d) A voltagem através do capacitor é

V C t = q t C = i m ω C sen ⁡ ( ω t - φ )   .

Nesse caso, integramos a expressão para a corrente que mostramos no Passo 1, já que i = d q / d t , e obtivemos q ( t ) .

Portanto, o maior valor que V C ( t ) pode ter é

V C m = i m ω C = ε m ω R C   .

Usando C = 1 / ( ω 2 L ) , vamos ter

V C m = ε m L ω R   .

Passo 5

e) Para o resistor, a voltagem será

V R = R i m sen ⁡ ( ω t - φ )   .

Para X C = X L , a amplitude V R m dessa voltagem será

V R m = R i m = R ε m R     ⇒     V R m = ε m   .

Resposta

  1. X C = X L = ω L   ;
  2. C = 1 ω 2 L   ;
  3. V L m = ω L ε m R   ;
  4. V C m = ε m L ω R   ;
  5. V R m = ε m   .

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