Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

UFF - Física 3 - P3 2017.1 - 18

Em um circuito RLC em série de frequência angular ω = 3 r a d s , com resistência R = 40   Ω , um indutor de L = 15   m H e um capacitor de C = 3   m F , mede-se uma corrente de pico de   0,5   A . Após um período completo de oscilação a energia dissipada em cada componente do circuito será:

  1. E R = 5,0   J , E L = 0 e E C = 0
  2. E R = E L = E C = 10,0   J
  3. E R = 5,0   J , E L = - E C
  4. E R = E L = E C = 0
  5. E R = 10,0   J , E L = 0 e E C = 0

Passo 1

Em um circuito RLC conectado a uma fonte de corrente alternada, sabemos que voltagem oscila com o tempo com uma frequência ω . Isso faz com que a corrente também oscila com mesma frequência. Por isso, podemos representar essa oscilação da corrente através da seguinte função

i t = d q d t = I 0 cos ⁡ ω t

Bom, se a corrente oscila dessa maneira, é de se esperar que a energia em componente do circuito também oscile. Por quê? Vamos ver isso nos próximos passos…Cada passo será feito para um componente do circuito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A energia dissipada em um resistor é E R t = R i 2 t . Portanto, temos

E R t = R I 2   c o s 2 ( ω t )

e claramente vemos que essa energia oscila no tempo.

Passo 3

A energia armazenada no campo magnético no interior do indutor é dada por

E L t = L i t d i t d t = L I c o s   ω t × - I ω   s e n   ω t = - L I 2 ω 2   s e n ( 2 ω t )

deixando claro que a energia armazenada no indutor é oscilante.

Passo 4

A energia armazenada no capacitor é dada por E C t = q 2 t 2 C . Portanto, precisamos encontrar como a carga varia no tempo nesse circuito. Mas como? Bom, como já temos i t = d q d t , ficou mais fácil. Basta realizar a seguinte integral, que você já está cansado de fazer

q t = I 0 ∫ 0 t cos ⁡ ω t 1   d t 1 ⇒ q t = I 0   s e n ω t ω

Portanto, a energia armazenada no capacitor é

E C t = q 2 t 2 C = I 0 2     s e n 2 ω t 2 ω 2 C

Passo 5

Para finalizar essa questão, precisamos avaliar como são essas energias após um período completo T de oscilação. Bom, para um período completo T , temos

ω t = 2 π T T = 2 π

Vemos, então, que cos ⁡ ω T = c o s 2 π = 1 , s e n   ω T = 0 e s e n 2 ω T = 0 . Então, as energias em t = T são: E R t = T = R I 2 = 10,0   J , E L t = T = E C t = T = 0 .

Resposta

Portanto, após um período de oscilação t = T , apenas a energia dissipada no resistor é diferente de zero e igual 10,0   J , o que dá como resposta a letra e).

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas