Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

O fluxo magnético através de uma espira circular de diâmetro d = 2 2   c m e resistência R = 10   Ω , obedece à seguinte equação:

ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 γ

Sabendo que:

  • Em t = 0   s , ϕ B = 2   W b ;
  • Em t = 1   s , ϕ B = 10   W b e d B / d t = 3   T / s ;
  • a ) Encontre os valores de α ,   β e γ com as unidades corretas e escreva a expressão final para o fluxo magnético (considere π = 3 e ln ⁡ 0,5 = 0,7 ).

    Suponha agora uma nova situação em que o campo magnético através da mesma espira obedeça à seguinte equação: B t = δ e - n t + 1 / 2 , onde δ e n são constantes a determinar.

    b ) Sabendo que nesta nova situação B = 2   m T em t = 0   s , e B = 1   m T em t = 1   s , encontre os valores das constantes δ e n com as respectivas unidades e escreva a expressão final para o campo magnético B e para f e m induzida.

    Passo 1

    a ) Encontre os valores de α ,   β e γ com as unidades corretas e escreva a expressão final para o fluxo magnético (considere π = 3 e ln ⁡ 0,5 = 0,7 ).

    Vamos utilizar as 3 condições que o problema nos deu para encontrar os valores de α ,   β e γ , ok?

  • Em t = 0   s , ϕ B = 2   W b ;
  • ϕ B 0 = 2   W b

    1 γ = 2   W b

    γ = 0,5   W b - 1

  • Em t = 1   s , ϕ B = 10   W b ;
  • ϕ B 1 = 10   W b

    α + β + 1 0,5 = 10 → α + β + 2 = 10

    α + β = 8

  • Em t = 1   s , d B / d t = 3   T / s ;
  • ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 0,5

    ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 2

    Por definição, como a área da espira é constante, podemos dizer que ϕ B t = B t . A , logo:

    B t . A = α t 3 + β t 2 + 2

    B t = 1 A α t 3 + β t 2 + 2

    Derivando o campo magnético em função do tempo, teremos:

    d B t d t = 1 A 3 α t 2 + 2 β t

    Onde:

    d B 1 d t = 3   T / s

    A = π d 2 4 = 3 × 2 2 × 10 - 2 2 4 = 6 × 10 - 4 m 2

    Portanto:

    3 = 1 6 × 10 - 4 3 α + 2 β

    3 α + 2 β = 18 × 10 - 4

    Passo 2

    Beleza, nós já conseguimos determinar quem é γ , agora vamos ter que resolver o sistema abaixo pra determinar quem é α e β .

    α + β = 8

    3 α + 2 β = 18 × 10 - 4

    Multiplicando a primeira linha por 3, teremos:

    3 α + 3 β = 24

    3 α + 2 β = 18 × 10 - 4

    Fazendo a primeira equação menos a segunda, teremos:

    β = 24 - 18 × 10 - 4 ≅ 23,99

    Agora, multiplicando a primeira linha por 2 e, depois, fazendo a segunda equação menos a primeira, encontraremos:

    α = - 15,99

    Até aqui, beleza, mas quais são as unidades de α e β ?

    Passo 3

    Vamos voltar à equação original que o problema nos deu.

    ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 γ

    Se os três termos estão se somando, eles necessariamente tem as mesmas unidades de medida que, nesse caso, são de fluxo magnético W b , então basta fazermos uma análise dimensional.

    Para α , teremos:

    α × t 3 = W b

    α × s 3 = W b

    α = W b / s 3

    Para β , teremos:

    β × t 2 = W b

    β × s 2 = W b

    β = W b / s 2

    Finalmente:

    α = - 15,99   W b / s 3

    β = 23,99   W b / s 2

    γ = 0,5   W b - 1

    Pra finalizar:

    ϕ B t = - 15,99 t 3 + 23,99 t 2 + 2

    Agora sim, acabamos a letra a !

    Passo 4

    b ) Sabendo que nesta nova situação B = 2   m T em t = 0   s , e B = 1   m T em t = 1   s , encontre os valores das constantes δ e n com as respectivas unidades e escreva a expressão final para o campo magnético B e para f e m induzida.

    B t = δ e - n t + 1 / 2

    Pra começar, vamos logo determinar as unidades de medida desses caras?

    Como a função exponencial é adimensional, δ deve ter a mesma unidade de B t , logo:

    δ = T

    E como o expoente também deve ser algo adimensional:

    n = s - 1

    Bom, beleza... já podemos nos preocupar só em calcular os valores de δ e n .

    A estratégia aqui é a mesma que usamos na letra a , vamos usar as condições que o problema nos deu para determinar os valores desses caras:

  • B = 2   m T em t = 0   s ;
  • B 0 = 2 × 10 - 3 T

    2 × 10 - 3 = δ e - 0,5

    δ = 2 × 10 - 3 e - 0,5

    δ = 3,3 × 10 - 3   T → δ = 3,3   m T

  • B = 1   m T em t = 1   s ;

B 1 = 10 - 3   T

10 - 3 = 3,3 × 10 - 3 e - ( n + 1 ) / 2

e ( n + 1 ) / 2 = 3,3

n + 1 2 = ln ⁡ 3,3

n + 1 2 = 1,2

n = 1,4   s - 1

Finalmente:

B t = 3,3 e - 1,4 t + 1 / 2 ( m T )

Passo 1

A f e m   induzida é determinada a partir da lei de Faraday, dada por:

ε = - ∂ ϕ B d t

Como a área é constante, podemos dizer que:

ε = - A ∂ B t ∂ t

Na letra a , já havíamos visto que A = 6 × 10 - 4 m 2 .

ε = - 6 × 10 - 4 × - 0,7 × 3,3 × 10 - 3 × e - 1,4 t + 1 / 2

ε = 1,386 × 10 - 6 e - 1,4 t + 1 / 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

a )

α = - 15,99   W b / s 3

β = 23,99   W b / s 2

γ = 0,5   W b - 1

ϕ B t = - 15,99 t 3 + 23,99 t 2 + 2

b )

δ = 3,3   m T

n = 1,4   s - 1

B t = 3,3 e - 1,4 t + 1 / 2 ( m T )

ε = 1,386 × 10 - 6 e - 1,4 t + 1 / 2

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