No circuito da figura abaixo, o gerador de corrente alternada ϵ ( t ) tem o valor da tensão quadrática média igual a 115   V quando opera na frequência   f   =   60   H z .

Sabendo que a indutância L   =   137   m H , a capacitância C   =   25 μ F e que a resistência R = 50 Ω :

a) calcule os valores da tensão quadrática média entre os pontos: AB, BC e CD.

b) calcule os valores da tensão quadrática média entre os pontos: AC e BD.

c) Desenhe o diagrama de fasores do circuito indicando CLARAMENTE o valor de cada um deles. (Nota: cuidado para respeitar aproximadamente a escala entre os fasores).

d) Qual é o valor do ângulo de fase entre a corrente no circuito e a tensão do gerador?

e) Calcule o valor médio da potência fornecida pelo gerador.

Passo 1

Letra (a):

Precisamos lembrar de algumas fórmulas para resolver essa questão:

ω d = 2 π f

X L = ω d L ,   X C = 1 / ω d C

V C = I X C ,   V R = I R ,   V L = I X L

V r m s = V 2

Foi dada a freqüência f , daí temos que ω d = 2 π f = 120 π .

Vou começar calculando as reatâncias:

X L = ω L = 120 π . 137 × 10 - 3 = 51,64 Ω

X C = 1 ω C 2 = 1 120 π . ( 25 × 10 - 6 ) = 1 06,1 Ω

A o valor de Z :

Z = R 2 - X L - X C 2 = 50 2 + 106,1 - 51,64 2 = 73,93

A corrente vai ser dada por:

I = ϵ m Z = ϵ r m s 2 73,93 = 115 2 73,93 = 2,2 A

Passo 2

Agora as d d p :

V A B = V R m = R I 2 = 1 2 2,2.50 = 77,78 V

V B C = V C m = X C I 2 = 1 2 2,2.106,1 = 165,04 V

V C D = V L m = X L I 2 = 1 2 2,2.51,64 = 80,33 V

Passo 3

Letra (b):

Seguindo o circuito e com os valores das ddps do passo anterior, podemos achar o que se pede.

  • V A C :
  • V A - V R m - V C m = V B

    V A - V B = V A B = 77,78 + 165,04 = 242,82 V

  • V B D :

V B - V C m - V L m = V D

V B - V D = V B D = V C m + V L m = 165,04 + 80,33 = 245,37 V

Passo 4

Letra (c) e (d):

E agora o ângulo ϕ da corrente com a tensão:

t g   ϕ = X L - X C R = 51,64 - 106,10 50

ϕ = - 47,44 °

Como X L < X C o circuito é capacitivo.

Como V C m ( e m   l a r a n j a ) > V L m ( e m   r o x o ) o vetor V C m - V L m (em vermelho) aponta na vertical para baixo. Os fasores V R m   e I (azul e verde respectivamente) apontam na horizontal para a direita. O fasor ϵ m (em preto) fica no quarto quadrante, e faz um ângulo de 47,44 ° no sentido negativo de rotação.

O diagrama dos fasores fica:

Passo 5

Letra (e):

A potência fornecida pelo gerador é:

P ϵ = 1 2 ϵ m I c o s ϕ = 1 2 115 2 . ( 2,2 ) c o s ⁡ ( 47,44 ° )

P ϵ = 121 V

O exercício não pede, mas vou calcular a potência dissipada pelo resistor. Sabemos que a potência fornecida pelo gerador é a mesma potência dissipada pelo resistor. Então vou fazer a prova real:

P R = 1 2 R I 2 = 1 2 50 2,2 2 = 121 V

Olha que legal! Você sempre pode testar se seu resultado está correto fazendo isso, beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) V A B = V R m = 77,78 V

V B C = V C m = 165,04 V

V C D = V L m = 80,33 V

( b ) V A B = 242,82 V

V B D 245,37 V

( c )

d ϕ = - 47,44 °

e 121 V

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