Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Circuitos CA

Um potenciômetro (dimmer) é um dispositivo que permite variar a intensidade luminosa de uma lâmpada. Estes dispositivos são compostos por uma bobina de indutância L variável em série com uma lâmpada(Figura 1 ).

O circuito é alimentado por um gerador alternado com uma f e m eficaz ε e f f = 100   V e uma frequência angular ω = 50   r a d / s . Considere que a lâmpada utilizada é de 1000   W de potência e que a sua resistência elétrica seja independente da temperatura.

a ) Calcule qual deve ser o valor mínimo da indutância L para que a potencia média dissipada na lâmpada seja máxima ( 1000   W ) .

b ) Calcule qual deve ser o valor máximo da indutância L para que a potencia média dissipada pela lâmpada seja 200   W .

c ) Se no lugar do gerador de f e m alternada fosse inserida uma bateria em corrente continua ε 0 , qual deveria ser o valor da tensão ε 0 para que, decorrido um tempo muito longo, a potência dissipada na lâmpada fosse de 1000   W ?

Considere novamente o circuito da Figura 1 . Agora a lâmpada é substituída por um resistor R do mesmo valor e no circuito é inserido em série um capacitor C = 10   m F .

d ) Considerando que a indutância L possui o valor máximo calculado no item b desenhe o diagrama de fasores do circuito. A corrente que passa no circuito está adiantada ou atrasada em relação à tensão do gerador?

e ) Mudando o valor da indutância L entre os limites calculados nos itens a e b é possível fazer com que o circuito entre em ressonância? Em caso de resposta negativa justifique. Em caso de resposta afirmativa calcule o valor de L para que isso aconteça.

Passo 1

a )

Para um circuito RLC, temos que a potência dissipada é dada pela seguinte fórmula:

P = ε e f f . I e f f . cos ⁡ ϕ

Onde I e f f = ε e f f Z e cos ⁡ ϕ = R Z , lembrando que Z = R 2 + X L - X C 2 . Substituindo:

P = ε e f f 2 . R Z 2

Para que P = 1000   W , como o valor de ε e f f 2 e R não variam, a única maneira de ter a potência máxima é quando Z for mínimo, ou seja, L = 0 , nesse caso, Z = R .

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Passo 2

b )

Para P = 200   W , usando a relação anterior, temos:

200 = 100 2 . 10 Z 2

Z 2 = R 2 + X L 2 = 500

Substituindo X L = L . ω e os outros valores, temos:

10 2 + L 2 . 50 2 = 500

L = 0,4   H

Passo 3

c )

Para um tempo muito longo, temos que o indutor irá se comportar como um fio normal, sem resistência, logo, a potencia dissipada será:

P = V . i = V . V R

1000 = V 2 10

V = 100   V

Passo 4

d )

Agora, temos um novo circuito, onde L = 0,4   H , além disso, temos um novo componente, o capacitor, para esse circuito, vamos determinar as reatâncias:

X C = 1 ω . C = 1 50.10 × 10 - 3 = 2   Ω

X L = L . ω = 0,4.50 = 20   Ω

R = 10   Ω

Logo, o diagrama pode ser representado da seguinte forma:

Logo, a corrente está atrasada em relação à tensão!

Passo 5

e )

Para que o circuot0 entre em ressonância, precisamos que:

X L = X C

L . ω = 1 ω . C

Substituindo os valores, temos:

L . 50 = 1 50.10 × 10 - 3

L = 0,04   H

Portanto , existe sim um valor de L , entre 0 e 0,4 para que o circuito entre em ressonância!

Resposta

a )   L = 0

b )   L = 0,4   H

c )   V = 100   V

d ) Ver figura. Corrente atrasada em relação à tensão.

e ) L = 0,04   H

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