Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Considere o circuito em corrente alternada mostrado em figura.

Sabendo que o valor máximo da tensão V C M medida no capacitor (entre os pontos "a" e "b") é 10   V e que a frequência angular do gerador é ω = 10 3   r a d / s :

a Calcule o valor máximo da tensão entre os pontos “c” e “d” do circuito;

b Calcule o valor máximo da tensão entre os pontos “d” e “e” do circuito;

c Chamando V R M , V C M e V L M , respectivamente, as tensões máximas no resistor, no capacitor e no indutor, desenhe (em escala) o diagrama dos fasores do circuito, indicando claramente V R M , V C M , V L M e a corrente máxima I M .

d Utilizando o diagrama, calcule a fase φ entre a tensão do gerador e a corrente que passa no circuito e o valor máximo da tensão do gerador, V M . Neste caso, o circuito possui comportamento indutivo ou capacitivo? Justifique a sua afirmação.

e O circuito encontra-se em ressonância? Se sim, explique porque. Se não, calcule o valor do capacitor ou o indutor L para que isso aconteça, mantida a frequência angular do gerador ω .

Passo 1

a Calcule o valor máximo da tensão entre os pontos “c” e “d” do circuito;

A tensão entre os pontos “c” e “d” corresponde à tensão no resistor, dado por:

V R M = I M R

Como o problema nos deu o valor da resistência, precisamos descobrir a corrente máxima.

O problema nos disse que V C M = 10   V , C = 0,1   μ F = 0,1 × 10 - 6   F e ω = 10 3   r a d / s . Dessa forma:

V C M = I M X C

Onde X C = 1 / ω C .

I M = V C M X C = V C M ω C

Substituindo os valores, teremos:

I M = 10 × 0,1 × 10 - 6 × 10 3

I M = 10 - 3   A

Finamente, a máxima tensão entre os pontos “c” e “d” será dada por:

V R M = I M R

Onde R = 10   k Ω = 10 × 10 3   Ω .

V R M = 10 - 3 × 10 × 10 3

V R M = 10   V

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Passo 2

b Calcule o valor máximo da tensão entre os pontos “d” e “e” do circuito;

A máxima tensão entre os pontos “d” e “e” do circuito corresponde à máxima tensão no indutor, dada por:

V L M = I M X L

Onde X L = ω L e L = 20   H .

V L M = I M ω L

V L M = 10 - 3 × 10 3 × 20

V L M = 20   V

Passo 3

c Chamando V R M , V C M e V L M , respectivamente, as tensões máximas no resistor, no capacitor e no indutor, desenhe (em escala) o diagrama dos fasores do circuito, indicando claramente V R M , V C M , V L M e a corrente máxima I M .

Para desenhar o diagrama de fasores precisamos relembrar algumas coisas:

  • A tensão no resistor e a corrente estão em fase, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V R é o mesmo de I .
  • A corrente está adiantada π / 2 em relação à tensão no capacitor, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V C é o mesmo da corrente menos π / 2 .
  • A corrente está atrasada π / 2 em relação à tensão no indutor, ou seja, o ângulo de rotação no fasor V L é o mesmo da corrente mais π / 2 .

Dessa forma, teremos o seguinte diagrama:

Lembrando que V C M = V R M = 10   V e V L M = 20   V .

Passo 4

d Utilizando o diagrama, calcule a fase φ entre a tensão do gerador e a corrente que passa no circuito e o valor máximo da tensão do gerador, V M . Neste caso, o circuito possui comportamento indutivo ou capacitivo? Justifique a sua afirmação.

No diagrama de fasores, a tensão máxima no gerador e o ângulo de fase são indicados da seguinte forma:

Dessa forma, utilizando o teorema de Pitágoras, o valor máximo da tensão no gerado será:

V M = V R 2 + V L M - V C M 2

V M = 10 2 + 20 - 10 2

V M = 100 + 100 = 200

V M = 10 2   V

Passo 5

O ângulo de fase φ será dado por:

tan ⁡ φ = V L M - V C M V R M = 20 - 10 10 = 10 10

tan ⁡ φ = 1

φ = 45 ° = π 4   r a d

Passo 6

Um circuito possui comportamento indutivo se a reatância indutiva for maior que a reatância capacitiva. Da mesma forma, um circuito possui comportamento capacitivo se a reatância capacitiva for maior que a reatância indutiva.

Logo:

X C = 1 ω C = 1 10 3 × 0,1 × 10 - 6

X C = 10 4   Ω

X L = ω L = 10 3 × 20

X L = 2 × 10 4   Ω

Finalmente:

X L > X C

Dessa forma, o circuito possui comportamento indutivo.

Passo 7

e O circuito encontra-se em ressonância? Se sim, explique porque. Se não, calcule o valor do capacitor ou o indutor L para que isso aconteça, mantida a frequência angular do gerador ω .

O circuito está em ressonância se X C = X L , o que não é o caso aqui como vimos no Passo anterior.

X C = 10 4   Ω

X L = 2 × 10 4   Ω

Assim, vamos calcular o valor do capacitor (mantendo-se o indutor) e do indutor (mantendo-se o capacitor) para que isso aconteça.

A frequência de ressonância é dada por:

ω = 1 L C

Dessa forma, mantendo-se o indutor, o capacitor será dado por:

C = 1 L ω 2 = 1 20 × 10 3 2

C = 5 × 10 - 8   F = 50   n F

Agora, mantendo-se o capacitor, o indutor será dado por:

L = 1 C ω 2 = 1 0,1 × 10 - 6 × 10 3 2

L = 10   H

Resposta

a

V R M = 10   V

b

V L M = 20   V

c

d

V M = 10 2   V

φ = 45 ° = π 4   r a d

O circuito possui comportamento indutivo.

e

C = 5 × 10 - 8   F = 50   n F

L = 10   H

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