Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Um indutor ideal, de indutância desconhecida não nula, um resistor de resistência R e um capacitor ajustável conectados em série a uma fonte de tensão alternada ε t = ε m s e n ( ω t ) . A amplitude da corrente circulando no circuito quando o capacitor é ajustado para o valor C 0 é a mesma de quando o capacitor é ajustado para o valor 2 C 0 .

Determine em função dos parâmetros dados:

(a) A indutância do indutor

(b) A amplitude da corrente no circuito

(c) A fase em relação à fonte de tensão quando o capacitor vale C 0 e 2 C 0

(d) A potência média dissipada no circuito qunado o capacitor vale 2 C 0

Passo 1

Quando mudamos a capacitância do capacitor de C 0 para 2 C 0 temos que a corrente permanece a mesma. Isso quer dizer que a nossa impedância não mudou, ou seja

Z C 0 ,   L = Z ( 2 C 0 ,   L )

Onde ainda iremos determinar a indutância.

Substituindo temos

R 2 + X L - X C C 0 2 = R 2 + X L - X C 2 C 0 2

R 2 + X L - X C C 0 2 = R 2 + X L - X C 2 C 0 2

X L - X C C 0 2 = X L - X C 2 C 0 2 → X L - X C C 0 = ± X L - X C 2 C 0

Se tomarmos a solução com sinal positivo iremos achar que X C C 0 = X C ( 2 C 0 ) o que não faz sentido, já que X C = 1 / ω d C .

Se tomarmos a solução com sinal negativo temos

X L - X C C 0 = - X L + X C 2 C 0 → X C 2 C 0 + X C C 0 = 2 X L

Substituindo X L = ω L e X C = 1 / ω C

X C 2 C 0 + X C C 0 = 2 X L → 1 2 ω C 0 + 1 ω C 0 = 2 ω L

L = 3 4 ω 2 C 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que descobrimos a indutância, para descobrir a corrente, basta usar

I = ε m R 2 + X L - X C 2

Como

X L = ω L = ω 3 4 ω 2 C 0 = 3 4 ω C 0

e

X C = 1 ω C 0

(Aqui tanto faz usar a capacitância de C 0 ou 2 C 0 já que as duas produzem a mesma corrente!)

Temos finalmente

I = ε m R 2 + 3 4 ω C 0 - 1 ω C 0 2 = ε m R 2 + - 1 4 ω C 0 2

I = ε m R 2 + 1 4 ω C 0 2

E é isso. Não fica mais bonito não, mas tá certo ;)

Passo 3

Temos que lembrar que a fase ϕ da corrente em relação à fonte é relacionada por

tan ⁡ ϕ = X L - X C R

No caso em que a condutância vale C 0

tan ⁡ ϕ = 3 4 ω C 0 - 1 ω C 0 R = - 1 4 ω C 0 R

ϕ = arctan ⁡ - 1 4 ω C 0 R

No caso em que a condutância vale 2 C 0

tan ⁡ ϕ = 3 4 ω C 0 - 1 2 ω C 0 R = 1 4 ω C 0 R

ϕ = arctan ⁡ 1 4 ω C 0 R

Passo 4

A potência média é dada por

P m e d = ε m I cos ⁡ ϕ 2

Substituindo a amplitude da corrente e a fase, que já achamos

P m e d = 1 2 ε m ε m R 2 + 1 4 ω C 0 2 cos ⁡ ϕ

Calma que eu segurei esse ϕ ! Substituir logo daria um negócião gigante! Vou te ensinar um macete pra calcular o cosseno de arcotangente ;)

Temos que o nosso ângulo ϕ é dado por

ϕ = arctan ⁡ 1 4 ω C 0 R = arctan ⁡ 1 4 ω C 0 R

Aqui tanto faz escolher a solução para ϕ com sinal de menos ou mais por que a função cosseno é uma função par ( cos ⁡ x = cos ⁡ - x ) . Para deixar mais simples, escolhi a solução com o argumento do arcotangente positivo.

Até aí, nada de novo. Mas a gente consegue pensar em uma coisa: sabemos que a tangente é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, certo? E se a gente desenhar um triângulo retângulo cujos catetos sejam 1 e 4 ω C 0 R ? Ficaria algo tipo assim:

Ah maneiro! Agora só preciso da hipotenusa para calcular o cosseno de ϕ . Pra isso basta usar Pitagorás! A hipotenusa será

1 + 4 ω C 0 R 2

Assim temos

cos ⁡ ϕ = 4 ω C 0 R 1 + 4 ω C 0 R 2

Pra deixar com a cara da nossa expressão da potência, vamos dividir o numerador e o denominador por 4 ω C 0

cos ⁡ ϕ = 1 4 ω C 0 4 ω C 0 R 1 4 ω C 0 1 + 4 ω C 0 R 2 = R 1 4 ω C 0 2 + R 2

Assim, voltando para a potência média

P m e d = 1 2 ε m ε m R 2 + 1 4 ω C 0 2 R 1 4 ω C 0 2 + R 2

P m e d = 1 2 ε m 2 R R 2 + 1 4 ω C 0 2

Resposta

(a) L = 3 4 ω 2 C 0

(b) I = ε m R 2 + 1 4 ω C 0 2

(c) ϕ = arctan ⁡ ± 1 4 ω C 0 R

(d) P m e d = 1 2 ε m 2 R R 2 + 1 4 ω C 0 2

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