Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

No circuito em corrente alternada da figura, o capacitor é variável, com uma capacitância C que pode ser regulada de zero até 200   μ F . O circuito é alimentado por uma fonte de tensão senoidal com valor máximo ε M = 50   V e frequência f = 50   H z . Além disso, o resistor e o indutor possuem os seguintes valores: R = 10   Ω e L = 100   m H .

Nestas condições (nas contas, considere π = 3 ):

(a) Calcule o valor da capacitância C para que o fator de potência do circuito seja igual a 1 / 2 . O circuito tem comportamento capacitivo ou indutivo? Justifique suas afirmações

(b) Calcule o valor máximo da corrente I M e as tensões no resistor V R , no capacitor V C e no indutor V L . Desenhe também o diagrama dos fasores (em escala).

(c) Qual valor deve ter C para que o circuito entre em ressonância? Calcule nesta nova condição o valor médio da potência dissipada no resistor.

Passo 1

Bem, como o fator de potência é dado por:

cos ⁡ ϕ = 1 2 → ϕ = π 4 ,

tan ⁡ ϕ = 1 .

Assim sendo,

tan ⁡ ϕ = X L - X C R ,

X L - X C = R ,

com X L = ω d L e X C = 1 / ω d C . Temos:

ω d L - 1 ω d C = R ,

C = 1 ω d 2 L - ω d R ,

C = 1 2 π 50 2 × 100 × 10 - 3 - 2 π 50 × 10 ≈ 167   μ F .

O circuito é mais indutivo, pois X L > X C .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que:

X L = ω d L = 2 π 50 × 100 × 10 - 3 = 30   Ω ,

X C = X L - R = 20   Ω .

Podemos calcular I M a partir da seguinte expressão:

I M = ε M R 2 + X L - X C 2 ,

I M = 50 10 2 + 10 2 = 50 10 2 ≈ 3,53   A .

As tensões no resistor, no capacitor e no indutor são dadas por:

V R = I M R = 3,53 × 10 = 35,3   V ,

V C = I M X C = 3,53 × 20 = 70,6   V ,

V L = I M X L = 3,53 × 30 = 105,9   V .

Os fasores podem ser visualizados na figura abaixo.

Passo 3

Qual valor deve ter C para que o circuito entre em ressonância? Calcule nesta nova condição o valor médio da potência dissipada no resistor.

Para que o circuito entre em ressonância,

ω d = 1 L C → C = 1 ω d 2 L ,

C = 1 2 π 50 2 × 100 × 10 - 3 ≈ 111,1   μ F .

Nesse caso, X C = X L e, portanto, ϕ = 0 . A corrente máxima é dada por:

I M = ε M R = 5   A .

A potência dissipada no resistor será:

P = ε M I M cos ⁡ ϕ 2 = 50 × 5 2 = 125   W .

Resposta

(a) C = 167   μ F .

(b) I M = 3,53   A , V R = 35,3   V , V C = 70,6   V e V L = 105,9   V .

(c) C = 111,1   μ F e P = 125   W .

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