Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Circuito CA

Aplica-se uma ddp v t = V sen ⁡ ω t nos terminais de um circuito constituído em série por um indutor de indutância L , um capacitor com capacitância C e uma resistência R .

  1. Determine a amplitude da voltagem V C nos terminais do capacitor em termos de V ,   L ,   ω ,   R e C ;
  2. Determine o valor da capacitância para a qual a amplitude da voltagem V C nos terminais do capacitor é máxima;
  3. Determine o valor da capacitância para a qual a amplitude da corrente no circuito é máxima;

Passo 1

  1. Determine a amplitude da voltagem V C nos terminais do capacitor em termos de V ,   L ,   ω ,   R e C ;
  2. Vamos lá! O objetivo aqui é deixar o V C em função das variáveis que o problema pediu... então o negócio aqui é lembrar de algumas relações de circuito R L C pra conseguirmos facilitar a nossa vida.

    A primeira relação que vem à cabeça para V C é

    V C = X C I

    Onde X C = 1 / ω C , logo:

    V C = I ω C

    Beleza... só que esse I aí não nos interessa. Então, tratando-se de um circuito R L C em série, podemos dizer que:

    V = Z I → I = V Z

    V C = V ω C Z

    Onde esse Z é a impedância, dada por

    Z = R 2 + X L - X C 2

    Substituindo na expressão pra V C :

    V C = V ω C R 2 + X L - X C 2

    Estamos quase chegando lá... ali em cima nós já vimos que X C é a reatância capacitiva, dada por X C = 1 / ω C . O outro termo que aparece X L é a reatância indutiva, dada por X L = ω L .

    Agora sim! Substituindo de volta na nossa expressão para V C :

    V C = V ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2

    Opa! Agora sim... já conseguimos colocar em função das variáveis que queríamos. Sim, eu sei que você está com uma vontade absurda de deixar desse jeito... eu também.

    Mas não é difícil melhorar isso aqui... primeiro, vou pegar aquele ω C e jogar pra dentro da raíz:

    V C = V C 2 ω 2 R 2 + C 2 ω 2 ω L - 1 ω C 2

    V C = V C 2 ω 2 R 2 + C L ω 2 - ω C ω C 2

    Finalmente...

    V C = V C 2 ω 2 R 2 + C L ω 2 - 1 2

    Passo 2

  3. Determine o valor da capacitância para a qual a amplitude da voltagem V C nos terminais do capacitor é máxima;
  4. Agora vou precisar que você lembre um pouco de cálculo... se temos uma função f x e queremos saber o valor de x que vai fazer com que f x tenha o seu valor máximo, tudo o que temos que fazer é calcular

    d f x d x = 0

    Certo?

    Portanto, para calcularmos o valor da capacitância que vai fazer com que V C seja máximo... tudo o que temos que fazer aqui é calcular

    d V C d C = 0

    Faz sentido?

    Sim ,faz sentido e se você calcular, vai dar certo... o problema é que a função V C é esquisita demais, concorda?

    Então, aqui é preciso uma certa malandragem...

    V C vai ser máximo quando o seu denominador for mínimo, conseguiu ver? Então, podemos simplesmente calcular o valor mínimo do denominador, a partir do mesmo princípio:

    d C 2 ω 2 R 2 + C L ω 2 - 1 2 d C = 0

    Agora ficou mais tranquilo.

    Passo 3

    d C 2 ω 2 R 2 + C L ω 2 - 1 2 d C = 0

    2 C ω 2 R 2 + 2 L ω 2 C L ω 2 - 1 = 0

    Agora é só organizar isso aqui... podemos começar fazendo o seguinte: os dois temos estão multiplicados por 2 ω 2 , então vamos dividir a equação toda por 2 ω 2 .

    C R 2 + L C L ω 2 - 1 = 0

    C R 2 + C L 2 ω 2 - L = 0

    C R 2 + L 2 ω 2 = L

    C = L R 2 + L 2 ω 2

    Xablau!

    Passo 4

  5. Determine o valor da capacitância para a qual a amplitude da corrente no circuito é máxima;

Opa! Vamos começar olhando para a expressão de I :

I = V Z

I = V R 2 + X L - X C 2

Ou seja... I vai ser máximo quando o denominador for mínimo... e ele será mínimo quando:

X L - X C = 0

ω L = 1 ω C

C = 1 ω 2 L

Ou seja, quando o circuito estiver em ressonância.

Perae... é só isso? Sim... é só isso.

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Resposta

a.

V C = V C 2 ω 2 R 2 + C L ω 2 - 1 2

b.

C = L R 2 + L 2 ω 2

c.

C = 1 L ω 2

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