Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Circuito CA

Um circuito de corrente alternada é constituído de uma indutância ( L ) de 10 m H em série com uma resistência ( R ) de 3,77 Ω alimentados por um gerador alternado de 141   V   ( ε r m s ) com frequência f de 60 H z .

  1. Qual o fator de potência do circuito?
  2. Qual deve ser a capacitância de um capacitor que, colocado em série no circuito, tornaria este fator de potência unitário?
  3. Qual seria, agora, o valor da corrente I r m s com a introdução deste capacitor?
  4. Quais seriam as expressões das tensões em função do tempo no capacitor e no indutor?

Passo 1

  1. Qual o fator de potência do circuito?
  2. O fator de potência é dado por:

    F P = cos ⁡ ϕ

    Onde ϕ é o ângulo de fase, dado por:

    tan ⁡ ϕ = X L - X C R

    Mas como se trata de um circuito R L :

    tan ⁡ ϕ = X L R

    Beleza, então vamos começar calculando X L que é a reatância indutiva, dada por:

    X L = ω L

    X L = 2 π f L

    Onde L = 10   m H = 10 - 2 H e f = 6 0 H z . Logo:

    X L = 2 π × 6 0 × 10 - 2

    X L ≅ 3,77   Ω

    Passo 2

    Agora podemos calcular o ângulo de fase pra encontrar o fator de potência:

    tan ⁡ ϕ = X L R = 3,77 3,77 = 1

    ϕ = 45 °

    O fator de potência será:

    F P = cos ⁡ ϕ = cos ⁡ 45 ° = 2 2

    Passo 3

  3. Qual deve ser a capacitância de um capacitor que, colocado em série no circuito, tornaria este fator de potência unitário?
  4. Vamos analisar aqui... como o fator de potência é dado por:

    F P = cos ⁡ ϕ

    Ele será unitário quando cos ⁡ ϕ = 1 , logo, quando sen ⁡ ϕ = 0 e tan ⁡ ϕ = 0 .

    Portanto:

    tan ⁡ ϕ = X L - X C R = 0

    X L - X C = 0

    X L = X C  

    ω L = 1 ω C

    C = 1 ω 2 L

    Onde L = 10   m H = 10 - 2 H e f = 6 0 H z . Logo:

    C = 1 2 π × 60 2 × 10 - 2 ≅ 7,0 × 10 - 4 F

    C ≅ 0,7   m F

    Passo 4

  5. Qual seria, agora, o valor da corrente I r m s com a introdução deste capacitor?
  6. O problema nos diz que:

    ε r m s = 141 V

    E podemos associar ε r m s com I r m s por:

    ε r m s = Z I r m s

    I r m s = ε r m s Z

    Onde Z é a impedância, dada por:

    Z = R 2 + X L - X C 2

    Sendo X C = X L .

    Z = R = 3,77   Ω

    Agora sim.

    I r m s = 141 3 , 77

    I r m s = 37 , 4   A

    Passo 5

  7. Quais seriam as expressões das tensões em função do tempo no capacitor e no indutor?

Bom, aqui vale a pena dividir o problema em dois e calcular em cada um separadamente, começando pela indutor, já que já calculamos I r m s .

  • Indutor:
  • A tensão no indutor é dada por:

    V L = L d I d t

    Então vamos começar escrevendo a expressão de I t .

    I t = I 0 cos ⁡ ω t + ϕ

    Como já vimos, ϕ = 0 , ω ≅ 62,8   r a d / s e podemos usar I r m s para encontrar I 0 :

    I r m s = I 0 2

    I 0 = 37,4 × 2

    I 0 ≅ 52 , 9   A

    Logo:

    I t = 52 , 9 cos ⁡ 377 t

    V L = L d I t d t = - 10 - 2 × 52,9 × 377 sen ⁡ 377 t

    V L ≅ - 200 sen ⁡ 377 t

    Em módulo:

    V L = 200 sen ⁡ 377 t

    Passo 6

  • Capacitor:

Já vimos que, para o capacitor escolhido:

X C = X L

Podemos dizer então que:

V C = V L

V C = 200 sen ⁡ 377 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

a.

F P = 2 2

b.

C ≅ 0,7   m F

c.

I r m s = 37,4   A

d.

V L = V C = 200 sen ⁡ 377 t

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