Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Um resistor e um capacitor são ligados em série com uma fonte de tensão alternada. Medidas de tensão feitas separadamente através do resistor e do capacitor dão os valores r m s de 50 V e 75 V , respectivamente. Qual é aproximadamente a tensão ( r m s ) da fonte?

  1. 90 V
  2. 25 V
  3. 63 V
  4. 125 V
  5. 150 V

Passo 1

Pela lei das malhas temos

V 0 s e n ω t - R i + q C = 0

Onde temos as voltagens na fonte, resistor e capacitor, respectivamente. Lembrando que i = d q / d t e derivando essa equação em relação ao tempo temos

V 0 ω cos ⁡ ω t - R d i d t + i C = 0

V 0 ω cos ⁡ ω t = R d i d t - i C

Agora supondo que a corrente seja dada por

i = i 0 cos ⁡ ω t + ϕ

A sua derivada temporal é dada por

d i d t = - i 0 ω s e n ω t + ϕ = i 0 ω cos ⁡ ω t + ϕ + π 2

Onde usamos a soma de arcos

cos ⁡ x + y = cos ⁡ x cos ⁡ y - s e n x s e n y

cos ⁡ x + π 2 = cos ⁡ x cos ⁡ π 2 - s e n x s e n π 2 → cos ⁡ x + π 2 = - s e n ( x )

E a nossa EDOzinha fica

V 0 ω cos ⁡ ω t = R d i d t - i C

V 0 ω cos ⁡ ω t = R i 0 ω cos ⁡ ω t + ϕ + π 2 - i 0 C cos ⁡ ω t + ϕ

V 0 cos ⁡ ω t = R i 0 cos ⁡ ω t + ϕ + π 2 - i 0 ω C cos ⁡ ω t + ϕ

Podemos resolver essa equação por fasores! O fasor da esquerda é igual a soma dos fasores da direita. Esses fasores são perpendiculares entre si e teremos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é V 0

Assim

V 0 2 = R i 0 2 + i 0 ω C 2

Beleza, mas que que tem isso tudo? Bem sabemos que a amplitude da voltagem no resistor é dada por

V R = R i 0

E a amplitude da voltagem no capacitor é dada por

V C = q 0 C = i 0 ω C

Isso significa que

V 0 2 = V R 2 + V C 2

De forma que os valores quadráticos médios ( r m s ) de cada tensão se relacionam por

V 0 r m s 2 = V R r m s 2 + V C r m s 2

(Lembrando que V r m s = V / 2 )

Assim, como pelo enunciado temos que V R r m s 2 = 50 V e V C r m s 2 = 75 V , temos que

V 0 r m s 2 = 50 2 + 75 2

V 0 r m s = 90 V

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Resposta

(a)

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