Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Momento Angular

Uma bola 1 de raio desprezível e massa m 1 = 0,3   k g encontra-se suspensa na extremidade de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento l = 0,1   m . Ela é atingida por uma bola 2,também de raio desprezível, de massa m 2 = 0,1   k g que desloca-se com velocidade v = 10   m / s , sobre uma canaleta horizontal, cuja extremidade encontra-se na posição da bola 1, como ilustrado na figura. A colisão é elástica.

(a) Determine os vetores velocidade das bolas imediatamente após a colisão.

(b) Determine o vetor velocidade da bola 1 no topo da trajetória.

(c) Calcule a tensão no fio quando a bola 1 está no topo da trajetória.

(d) Calcule o vetor momento angular do sistema em relação ao ponto de suspensão da bola 1 antes e imediatamente após a colisão.

Passo 1

(a)

Como a colisão é elástica, podemos aplicar conservação de momento linear e conservação de energia cinética para os instantes imediatamente antes e imediatamente após essa colisão.

Aplicando conservação de momento linear:

∑ P i → = ∑ P f →

Como antes da colisão a bola 1 está em repouso, ou seja, não possui momento linear. A equação ficará:

m 2 v = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

Aplicando conservação de energia cinética:

1 2   m 2 v 2 = 1 2   m 1 v 1 f 2 + 1 2   m 2 v 2 f 2

m 2 v 2 = m 1 v 1 f 2 + m 2 v 2 f 2

Agora temos um sistema de equações:

m 2 v = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f m 2 v 2 = m 1 v 1 f 2 + m 2 v 2 f 2

Vamos tentar resolver por substituição.

Da primeira equação:

m 2 v = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

m 2 v 2 f = m 2 v - m 1 v 1 f

v 2 f = m 2 v - m 1 v 1 f m 2

Agora podemos substituir isso na segunda equação para encontrar o valor de v 1 f .

m 2 v 2 = m 1 v 1 f 2 + m 2 v 2 f 2

m 1 v 1 f 2 = m 2 v 2 - m 2 v 2 f 2

Substituindo:

m 1 v 1 f 2 = m 2 v 2 - m 2 m 2 v - m 1 v 1 f m 2 2

m 1 v 1 f 2 = m 2 v 2 - m 2 m 2 2 v 2 - 2 m 2 v . m 1 v 1 f + m 1 2 v 1 f 2 m 2 2

m 1 v 1 f 2 = m 2 v 2 - m 2 2 v 2 - 2 m 2 v . m 1 v 1 f + m 1 2 v 1 f 2 m 2

m 1 v 1 f 2 = m 2 2 v 2 - m 2 2 v 2 + 2 m 2 v . m 1 v 1 f - m 1 2 v 1 f 2 m 2

m 1 v 1 f 2 = 2 m 2 v . m 1 v 1 f - m 1 2 v 1 f 2 m 2

m 2 v 1 f 2 = 2 m 2 v . m 1 v 1 f - m 1 2 v 1 f 2 m 1

m 2 v 1 f 2 = 2 m 2 v . v 1 f - m 1 v 1 f 2

Dividindo tudo por v 1 f .

m 2 v 1 f = 2 m 2 v - m 1 v 1 f

v 1 f m 2 + m 1 = 2 m 2 v

v 1 f = 2 m 2 m 2 + m 1 v

Substituindo os dados do problema:

v 1 f = 2   .   0,1 0,1 + 0,3 10

v 1 f = 5   m / s

Finalmente, que conta gigantesca. Vamos substituir agora, lá naquela nossa primeira equação do sistema, para achar v 2 f .

v 2 f = m 2 v - m 1 v 1 f m 2

v 2 f = 0,1   .   10 - 0,3   .   5 0,1

v 2 f = - 5   m / s  

Agora precisamos definir um sistema de referencial para escrever nosso resultado.

Nossa resposta ficará então:

  v 2 f = - 5   x ^   m / s

v 1 f = 5   x ^   ( m / s )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Fazendo a conservação da energia mecânica:

E m e c i = E m e c f

1 2 m 1 v i 2 + m 1 g h i = 1 2 m 1 v f 2 + m 1 g h f

Como a bola parte do solo, a altura inicial é nula, e ficará apenas:

1 2 m 1 v i 2 = 1 2 m 1 v f 2 + m 1 g h f

A altura final nada mais é que duas vezes o comprimento do fio. Substituindo os valores:

1 2 0,3   .   5 2 = 1 2 0,3   .   v f 2 + 0,3 .   10 .   0,2

v f 2 = 21

v f = ± 21   m / s

Utilizando o referencial adotado, a velocidade final será:

v f = - 21   x ^   ( m / s )

Passo 3

(c)

A força resultante no topo da trajetória deve ser a força centrípeta responsável pela massa m 1 mover-se num círculo de raio l . Logo:

T → + P → = F c p →

Lembrando que F c p = m . v 2 R , a equação ficará:

- T   y ^ - m 1 g   y ^ = - m 1 V 2 l     y ^

Logo:

T = m 1 V 2 l - g

Substituindo os dados:

T = 0,3 21 2 0,1 - 10

T = 60   N

Passo 4

(d)

Imediatamente antes da colisão, podemos escrever o vetor momento angular como:

L a → = r a → × p a →

L a → = - l   y ^ × m 2 v   x ^

L a → = m 2 v l   z ^

L a → = 0,1   z ^   ( k g . m 2 / s )

Analogamente, podemos escrever para o instante imediatamente posterior à colisão. Entretanto, agora temos duas bolas em movimento, então teremos que considerar dois momentos angulares:

L d → = L 1 d → + L 2 d →

L d → = - l   y ^ × m 1 v 1 f   x ^ + - l   y ^ × - m 2 v 2 f   x ^

L d → = m 1 v 1 f l   z ^ - m 2 v 2 f l   z ^

L d → = l m 1 v 1 f - m 2 v 2 f z ^

L d → = 0,1   z ^   ( k g . m 2 / s )

Resposta

(a) v 2 f = - 5   x ^   m / s ; v 1 f = 5   x ^   ( m / s )

(b) v f = - 21   x ^   ( m / s )

(c) T = 60   N

(d) L a → = 0,1   z ^   ( k g . m 2 / s ) ; L d → = 0,1   z ^   ( k g . m 2 / s )

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