Uma esfera de massa 4,0 𝑘𝑔 e um cubo de massa 2,0 𝑘𝑔 estão conectados por uma corda inextensível e de massa de desprezível. A corda passa por uma roldana de raio 1,0 𝑚 e massa 2,0 𝑘𝑔 que tem a forma de um disco como ilustrado esquematicamente na figura ao lado. Ambos os corpos estão com velocidade de módulo igual a 𝑣 (𝑚/𝑠). Calcule em k g m 2 / s o módulo do momento angular do sistema em relação ao centro da roldana.

(a) 2 v

(b) 6 v

(c) 7 v

(d) 3 v

(e) 9 v

Passo 1

O sistema é composta de 3 partículas: o cubo, a roldana e a esfera. Então o momento angular total L t o t do sistema em relação ao centro da roldana é a soma dos momentos angulares das 3 partículas em relação ao centro da roldana.

E temos 2 maneiras de calcular o momento angular:

L → = I ω →

e

L → = r → × m v → ,

onde r → Ă© o vetor posição, tambĂ©m chamado de braço da alavanca (que nem vimos pro torque!).

Passo 2

A roldana é um disco então seu momento de inércia é:

I r o l d a n a = 1 2 m R 2

E como sua massa e seu raio sĂŁo, respectivamente, m = 2   k g e R = 1 , isso dĂĄ:

I r o l d a n a = 2 2 = 1   k g m 2

Passo 3

Vamos calcular o momento angular do cubo em relação ao centro da roldana, usando a fórmula

L → = r → × m v →

O que, em mĂłdulo, dĂĄ:

L = r → ⋅ m ⋅ v

Observando a figura com carinho, podemos ver que o braço da alavanca é o raio da roldana!

Ou seja,

r → c u b o = r

E como a massa do cubo Ă© m = 2   k g , obtemos:

L c u b o = r ⋅ 2   ⋅ v = 2 v

Passo 4

Agora vamos pro momento angular da roldana! Dessa vez vamos usar a fĂłrmula

L → = I ω →

Ou, usando os mĂłdulos:

L = I ω

Temos

v = ω R

⇒ ω = v r = v 1 = v ,

e jĂĄ vimos que

I r o l d a n a = 1

Logo,

L r o l d a n a = 1 ⋅ v = v

Passo 5

Beleza, agora sĂł falta o momento angular da esfera!

Assim como pro cubo, o vetor r → , braço da alavanca, tem módulo r :

E como a esfera tem massa m = 4   k g , o mĂłdulo do seu momento angular Ă©:

L e s f e r a = r ⋅ 4 ⋅ v = 4 v

Passo 6

Show! EntĂŁo somando tudo:

L t o t = L c u b o + L r o l d a n a + L e s f e r a

⇒ L t o t = 2 v + v + 4 v = 7 v

Resposta

Alternativa (c)

ExercĂ­cios de Livros Relacionados

Um bloco homogĂȘnea de granito em forma de livro possui faces de 20c m por 15c m e uma espessura de 1,2c m . A massa especĂ­fica (massa por unidade de volume) do granito Ă© 2,64g / c m 3 . O bloco gira e
10.19E Calcule o momento angular orbital da Terra em termos da constante de Planck.
Um ponto na borda de um rebolo com 0,75m de diùmetro muda de velocidade, a uma taxa constante, de 12m / s para 25m / s em 6,2s . Qual é a aceleração angular média do rebolo?
Em um certo instante, uma partícula de 0,80k g está situada na posição r → = 2,0m i ^ + 3,0m j ^ . O momento linear da partícula está no plano x y e tem um módulo de 2,4k g ∙ m / s e uma direção de 11
Em um certo instante, a força F → = 4 j → N age sobre um objeto de 0,25 k g cujo vetor posição Ă© r → = 2 i → - 2 k → e cujo vetor velocidade Ă© v → = - 5 i → + 5 k → . Em relação Ă  origem e em termos d