Uma haste metálica delgada, de comprimento d e massa M , pode girar livremente em torno de um eixo horizontal, que a atravessa perpendicularmente, à distância d / 4 de uma extremidade. A haste é solta a partir do repouso, na posição horizontal.

(a) Calcule o momento de inércia da haste, com respeito ao eixo em torno da qual ela gira.

(b) Calcule a velocidade angular ω adquirida pela haste após ter caido de um ângulo θ , bem como a aceleração α .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

Temos uma haste que inicialmente está na horizontal e é solta a partir do repouso. Com isso, ela faz o movimento de rotação. Mas a rotação não é em torno de seu centro de massa, então o momento de inércia precisa ser calculado.

E é isso que ele pede na letra (a). Então nossa primeira missão é encontrar o momento de inércia dessa barra

Na letra (b) ele pede para calcularmos a velocidade e aceleração angular, depois de ter percorrido um deslocamento θ . Bom, aqui vamos usar a conservação de energia e a definição de torque

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a) Em primeiro lugar é pedido pra calcularmos o momento de inércia da haste. Para isso vamos dividir em duas partes a partir do eixo de rotação

I h a s t e = I m a i o r + I m e n o r

Mas antes precisamos fazer um desenho.

Pra calcular o momento de inércia vamos primeiro fazer o seguinte:

M = λ d → λ = M d E aí aplicaremos o que foi falado antes:

I h a s t e = I m a i o r + I m e n o r

O momento de inércia de uma barra é:

I = 1 3 m L 2

Para a parte com distância 3 d / 4 :

I m a i o r = 1 3 λ 3 d 4 ⋅ 3 d 4 2 = 9 λ d 3 64

Para a parte com distância d / 4 :

I m e n o r = 1 3 λ d 4 ⋅ d 4 2 = λ d 3 3 ⋅ 64

Logo,

I h a s t e = 9 λ d 2 64 + λ d 3 3 ⋅ 64 = 28 λ d 3 3 ⋅ 64

Como λ = M d :

I h a s t e = 7 M d 2 48

Beleza? Essa é o momento de inércia dessa barra!

Passo 3

Letra (b) Como a única força que atua sobre o sistema (a gravidade) é conservativa, podemos aplicar a conservação de energia para achar a velocidade angular!

E i = E f

Aqui temos apenas energia cinética e potencial

U i + K i = U f + K f

Inicialmente a barra está parada e só tem energia potencial gravitacional então:

K i = 0

O centro de massa desse uma distância h i = d 4 s e n θ como se pode ver aqui nesse desenho:

Então essa será nossa altura de referência para a energia potencial inicial: U i = M g h i = M g 1 4 d s e n θ

Vamos dizer que toda energia potencial foi convertida em energia cinética de rotação, pois não houve dissipação

Beleza?

Passo 4

E no final a barra se move com velocidade angular ω , sendo assim:

K f = I h a s t e ω 2 2

Colocando os termos na equação, temos:

U i = K f

M g 1 4 d s e n θ = I ω 2 2

Agora vamos usar o resultado do item anterior para o momento de inércia da haste:

I h a s t e = 7 M d 2 48

Agora é só substituir e isolar ω 2 :

M g d s e n θ 4 = 7 M d 2 48 ω 2 2

Daí

ω 2 = 24 g s e n θ 7 d

certo?

Agora vamos calcular a aceleração!

Passo 5

E a aceleração angular pode ser encontrada pela segunda lei de newton para rotações:

τ r e s = I α

Aqui temos apenas a força peso produzindo torque nessa barra, e a definição de torque é o produto da força pelo braço de alavanca:

O braço de alavanca é a distância da linha de atuação da força (linha fina azul na vertical) e o eixo de rotação. No nosso desenho ali em cima é a distância em vermelho! E a força é a peso, representada pelo vetor em verde.

E assim a segunda lei fica:

F . r = I h a s t e α

A força é o peso P = M g , o braço de alavanca é r = d 4 c o s θ , o momento de inércia da haste nós já calculamos, então é só substituir:

M g d 4 c o s θ = 7 M d 2 48 α

Fazendo as simplificações:

α = 12 g c o s θ 7 d  

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Resposta

  1. I h a s t e = 7 M d 2 48
  2. ω 2 = 24 g s e n θ 7 d e   α = 12 g c o s θ 7 d  

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