13. Encontre o ponto sobre a reta y = 2 x + 3 que está mais próximo da origem.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter o ponto sobre a reta y = 2 x + 3 que está o mais próximo possível da origem do sistema.

Como vamos fazer isso? 🤔

Primeiro podemos definir genericamente o ponto que estamos procurando. Esse ponto em coordenada P = x , y em que y está sob a reta y = 2 x + 3 , ou seja, o ponto P é dado por

P = x ,   2 x + 3

Também podemos definir a função distancia entre pontos que é dada por

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Onde x e y são as coordenadas do nosso ponto e x 0 e y 0 as coordenadas da origem do sistema.

Sacou? Bora começar! 👀

Passo 2

Substituindo x , y por x ,   2 x + 3 e x 0 , y 0 por 0,0 em d , temos

d = x - 0 2 + 2 x + 3 - 0 2

Simplificando a equação

d = x 2 + 2 x + 3 2

d = x 2 + 4 x 2 + 12 x + 9

d = 5 x 2 + 12 x + 9

Derivando d pela regra da cadeia...

d ' = d 5 x 2 + 12 x + 9 d x = d 5 x 2 + 12 x + 9 d x · d u d u

d ' = 10 x + 12 · - 1 2 u

Voltando u para o polinômio...

d ' = - 10 x + 12 2 5 x 2 + 12 x + 9

Igualando d ' a 0

- 10 x + 12 2 5 x 2 + 12 x + 9 = 0

10 x + 12 = 0

x = - 6 5

Encontramos uma coordenada, agora substituímos na reta e vemos qual é o valor de y

y = 2 x + 3 = 2 - 6 5 + 3

y = 3 5

Portanto, o ponto P que é o ponto mais próximo da origem do sistema é dado por

P = - 6 5 , 3 5

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

P = - 6 5 , 3 5

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