Uma luz está acesa no topo de um poste de 50 pés de altura. Uma bola cai da mesma altura em um ponto situado a 30 pés de distância do poste (Veja a figura a seguir). A que velocidade a sombra da bola se desloca no solo 1/2 segundo depois? (Considere que na queda a bola percorreu s = 16t 2 pés em t segundos)

Passo 1

Olá, aqui é Yuri e hoje iremos aplicar um pouco os conceitos de derivada para que possamos resolver essa questão. A velocidade nada mais é do que o quanto algo se desloca ao longo do tempo, sendo assim queremos saber

d x d t

Da sombra da bola.

Se a altura da bola varia seguindo a equação

h = 50 - 16 t 2

Passo 2

Podemos procurar saber a que altura a bola está em t = 0.5 s .

h 0.5 = 50 - 16 0.5 2 = 46   f t

Com essa informação, poderemos utilizar conceitos de semelhança de triângulos para encontrar a altura da sombra nesse instante de tempo. Temos entao,

46 x = 50 30 + x

Logo temos

x = 3 4 5   f t

Com esse resultado em mão iremos montar um novo triangulo para que possamos calcular enfim a velocidade.

Passo 3

Com o novo triangulo, iremos fazer uma relação generalizada dos deslocamentos ao longo do tempo.

50 30 + x = 50 - 16 t 2 x

50 x = 1500 - 480 t 2 + 50 x - 16 x t 2

16 x t 2 + 480 t 2 = 1500

t 2 = 1500 16 x + 480

Agora iremos derivar em relação ao tempo,

2 t = 1500 - 16 x + 480 - 2 16 d x d t

Substituindo os valores previamente encontrados,

1 = - 1500 16 ∙ 345 + 480 2 16 ∙ d x d t

d x d t = - 1500 f t s  

Resposta

d x d t = - 1500 f t s  

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