11. Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de 32.000 c m 3 . Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter uma caixa que tenha 32.000 c m 3 de volume, mas que tenha as menores dimensões possíveis sem a tampa.

Como vamos fazer isso? 🤔

Para iniciar o problema, temos que definir as equações que temos que trabalhar.

Primeiro, para uma caixa de base quadrada de lado l e altura h , o volume é calculado como

V = l 2 · h

32.000 = l 2 · h

Essa equação tem que ser satisfeita sempre.

E a equação que descreve as áreas da caixa sem a tampa é dada por

A = l 2 + 4 l h

Essa equação temos que maximizar.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Isolando uma das variáveis da equação do volume e substituindo na equação da área, temos

32.000 = l 2 · h → h = 32000 l 2

Substituindo em A

A = l 2 + 4 l 32000 l 2

A = l 2 + 128 000 l

Derivando A para obter uma relação entre a taxa em variação de A em função de l , temos

A ' = 2 l - 128000 l 2

Igualando a 0 ...

2 l - 128000 l 2 = 0

2 l = 128000 l 2

Isolando l em um lado...

l 3 = 128000 2 = 64000

l = 64000 3

l = 40

Assim, vemos que l = 40 é a medida que A ser menor possível.

Substituindo em h ...

h = 32000 l 2 = 32000 40 2

h = 20

Portanto, as medidas do retângulo são l = 40 c m e h = 20 c m

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

l = 40 c m e h = 20 c m

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