Uma caixa é feita retirando-se quatro quadrados dos cantos de uma folha de papel quadrada de lado   2   m e dobrando os lados, como na figura. O tamanho x dos lados dos quadrados retirados para que o volume da caixa seja máximo pertence ao intervalo:

  1. [ 0 , 1 5 )
  2. [ 1 5 , 2 5 )
  3. [ 2 5 , 3 5 )
  4. [ 3 5 , 4 5 )
  5. [ 4 5 , 1 )

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Uma bem clássica de otimização.

Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de x , de forma que o volume da caixa obtida dobrando a figura abaixo seja o maior possível.

Passo 2

Qual seria a estratégia para resolver essa questão? Isso ae, deriva e iguala a zero. Mas o que vamos derivar? A equação que descreve o volume da caixa, certo? Então vamos construir essa equação.

O volume de uma caixa é definido pela área da base vezes a altura da caixa. Ao analisarmos a nossa figura,

Podemos ver que a altura da caixa é x (que é a parte que cortamos para poder dobrar), mas e qual é a área da base? Bem será ( 2 - 2 x ) 2 , já que os lados da base tem tamanho ( 2 - 2 x ) . Então o volume é:

V ( x ) = x ( 2 - 2 x ) 2

Derivando temos:

V ' ( x ) = ( 2 - 2 x ) 2 + x ( ( 2 - 2 x ) 2 ) '

Agora, usamos a regra da cadeia:

= ( 2 - 2 x ) 2 + x [ 2 ( 2 - 2 x ) ( - 2 ) ]

Juntando tudo temos:

= ( 2 - 2 x ) ( [ 2 - 2 x ]   - 4 x )

= ( 2 - 2 x ) ( 2   - 6 x )

Logo

V ' ( x ) = ( 2 - 2 x ) ( 2   - 6 x )

Passo 3

Descobrimos que

V ' ( x ) = ( 2 - 2 x ) ( 2   - 6 x )

Agora só precisamos igualar a zero para descobrirmos o máximo da função. Então temos:

( 2 - 2 x ) ( 2   - 6 x ) = 0

mas um produto é igual a zero se e somente se, pelo menos, uma das parcelas é zero. Logo

( 2 - 2 x ) = 0

⇒ x = 1

ou

( 2   - 6 x ) = 0

⇒ x = 1 / 3

Bem, temos dois possíveis valores para x . Mas qual deles é o máximo? Vamos testar!

V ( 1 ) = 1 ( 2 - 2 * 1 ) 2

= 0

Logo x = 1 / 3 é o valor que maximiza o volume, já que para x = 1 o volume é zero. E este valor está entre [ 1 5 , 2 5 ) , que aparece na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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