a ) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata?

b ) Por que as latas encontradas no mercado não são, em geral, como em a ) ? Tipicamente, o metal é entregue em chapas retangulares. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada e as sobreas são recicladas. Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado.

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão temos um famoso problema de otimização. Temos uma lata cilíndrica que possui um volume fixo V . Ou seja, como o volume de um cilindro vale:

π D 2 h

onde D é o diâmetro da base e h a altura do cilindro.

Temos que:

V = π D 2 h

Beleza!

Com essa informação, o item a ) do enunciado nos pergunta qual a relação de h e D para que a seja gasta a menor quantidade possível de metal.

Mas, o metal vai estar justamente na superfície do cilindro. Então, o que o problema realmente nos pergunta é: qual a relação de h e D para que a área superficial do cilindro seja mínima. Beleza?

Pra fazer isso, vamos isolar h em função de D na equação do volume do cilindro, e depois substituímos na expressão da área superficial dele:

A s = π D ⋅ h

Daí, é só derivarmos em relação a D e igualar a zero. Assim, teremos o ponto de mínimo e máximo da área superficial.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, temos que:

V = π D 2 h

Isolando h em função de D , temos:

h = V π D 2

Massa! Daí substituindo na expressão da área superficial:

A s = π D ⋅ h + 2 π D 2 4

onde o primeiro termo é a área lateral e o segundo a soma das áreas na tampa do cilindro.

= π D ⋅ V π D 2 + π D 2 2

Logo:

A s = V D

Excelente!

Passo 3

Agora que j�� temos a expressão da área superficial do cilindro em função do volume V (que é fixo, portanto, uma constante) e do diâmetro D , podemos derivar A s em relação a D e igualar a zero. Assim, teremos os pontos de máximo ou mínimo de A s :

d A s d D = d V D + π D 2 2 d D

= V ⋅ d D - 1 d D + π 2 ⋅ d D 2 d D

= V ⋅ - 1 ⋅ 1 D 2 + π 2 ⋅ 2 D = 0

Logo:

- V D 2 + π D = 0

∴ π D = V D 2

Então:

D = ± V π 1 3

Esses são os pontos de máximo ou mínimo. Não podemos ter o diâmetro negativo, então nossa única opção é:

D = V π 1 3

Logo, esse ponto precisa ser de mínimo, caso contrário não teríamos área superficial mínima para valores reais positivos.

Beleza! Agora, podemos calcular h em função desse valor que encontramos para D :

h = V π D 2

= V π ⋅ 1 V π 2 3

⇒ h = V π 1 ⋅ V π - 2 3

∴ h = V π 1 3

Opaaaa! Olha que legal... Encontramos que:

h = V π 1 3 = D

Portanto:

h = D

Passo 4

Já no item b ) , o enunciado nos pede pra considerar que na prática não se corta exatamente uma área superficial:

π D 2 4

Para colocar nas tampas da lata. Na verdade, são cortadas placas quadradas de área:

D 2

E, a partir delas são feitas as tampas. Sendo assim, nossa nova área superficial do cilindro vale:

A s = π D h + 2 D 2

= π D ⋅ V π D 2 + 2 D 2

∴ A s = V D + 2 D 2

Daí, derivando em relação a D , assim como fizemos no item a ) , vem:

d A s d D = V ⋅ - 1 ⋅ 1 D 2 + 4 D = 0

⇒ V D 2 = 4 D

Logo:

D = V 4 1 3

onde novamente tomamos apenas a solução positiva devido ao contexto do problema.

Daí, podemos calcular h :

h = V π ⋅ V 4 2 3 = 4 2 3 ⋅ V 1 3 π

Agora vamos calcular a razão pedida:

h D = 4 2 3 ⋅ V 1 3 π V 4 1 3

∴ h D = 4 3 3 π

= 4 π

Essa é a relação que foi pedida no enunciado.

Prontinho pessoal! Muito obrigado pela atenção de vocês!

Até a próxima 😉

Resposta

a )   h = D

b ) h D = 4 π

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