Exercícios Resolvidos de Otimização

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 276-73.

A altura de um corpo que se desloca verticalmente é dada por:

  s = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

Com s em metros e t em segundos. Determine a altura máxima do corpo.

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

A função do problema é s ( t ) e queremos encontrar seu máximo, derivando no tempo que é a única variável da função.

Passo 3

Agora, para achar o ponto de máximo, temos que encontrar os pontos críticos. Para isso, derivamos:

s ' t = - g t + v 0 , g > 0

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada não existe ou é zero. Aqui ela vai sempre existir, pois é um polinômio. Vamos ver quando será zero:

- g t + v 0 = 0 g t = v 0 t = v 0 g

Passo 4

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Devemos, para isso, escolher valores à esquerda e à direita do ponto.

Para t = v 0 / g , podemos escolher t = 0 e t = 2 v 0 / g :

s ' ( 0 ) = + v 0 > 0

s ' 2 v 0 / g = - g 2 v 0 g + v 0 = v 0 - 2 v 0 = - v 0

Tá, mas e se v 0 for menor que zero? Isso aí daria positivo.

É verdade, esse valor à direta que escolhemos não se saiu muito bem. Não ficou claro se a derivada será negativa ou positiva. A questão não especificou se v 0 é maior ou menor que zero.

Além disso, escolher outro ponto finito também não mudará muito as coisas. O que fazer?

Vimos que outra maneira de determinar a presença de máximos e mínimos e pelo teste da segunda derivada. Então vamos aplicá-lo: s ' ' t = - g < 0 s ' ' g / v 0 = - g < 0

A questão garante que g > 0 . Como a segunda derivada é negativa no ponto crítico, temos um ponto de máximo.

Passo 5

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros pontos críticos na função, então não precisamos comparar com outros pontos.

Passo 6

Vamos verificar agora as fronteiras para garantir que este é um máximo global (altura máxima).

A função começa em t = 0 uma vez que o tempo não pode ser negativo. Para tal valor:

s 0 = s 0

A outra fronteira é t , então vamos aplicar o limite:

lim t - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 = -

No ponto de máximo que encontramos:

s v 0 / g = - 1 2 g v 0 2 g 2 + v 0 v 0 g + s 0 = - 1 2 v 0 2 g + v 0 2 g + s 0 = v 0 2 2 g + s 0

Comparando os valores, vemos que t = v 0 / g é máximo global.

Assim, o s para esse tempo será:

s = - 1 2 g v 0 g 2 + v 0 v 0 g + s 0

s = v 0 2 2 g + s 0

Resposta

s = v 0 2 2 g + s 0 ,     e m   t = v 0 / g

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas