2 e centro na origem. Seja x a medida indicada na figura abaixo:

  1. Determine o domínio e a expressão da função A que fornece a área do retângulo em termos da variável x .
  2. Determine a área do retângulo de maior área possível que pode ser escrito em uma semicircunferência de raio 2 e cento na origem.

Passo 1

a) Temos que determinar a expressão que representa a área do retângulo da figura em função de x . Sabemos que a área de um retângulo é

A r e t â n g u l o = b a s e ∙ a l t u r a

2 x , concorda? Então nosso problema é descobrir a altura. Na figura abaixo dá pra ter uma ideia de como fazer isso:

Conseguiu descobrir? Isso mesmo, vamos fazer Pitágoras e achar y !

x 2 + y 2 = 2 2

y 2 = 4 - x 2

y = 4 - x 2

Passo 2

Agora é só unir o tudo naquela fórmula da área do retângulo. Vai ficar:

A ( x ) = 2 x ∙ 4 - x 2

Passo 3

Falta achar o domínio dessa função que achamos pra área do retângulo. A única restrição que tem que ser feita é:

4 - x 2 ≥ 0

Portanto:

4 - x 2 ≥ 0

4 ≥ x 2

- 2 ≤ x ≤ 2

Mas como estamos tratando de medidas, os valores negativos e o zero não podem ser considerados, certo? Então, o domínio passa ser:

0 < x < 2

Ou

( 0 ,   2 )

Passo 4

b) Peraí, vamos entender isso direito. O enunciado pediu pra calcular a área do retângulo de maior área possível dentro de uma semicircunferência de raio 2 . Então ele pediu o valor MAXIMO da função área? Sim! É isso mesmo, vamos achar o valor de máximo dessa função. Pra começar temos que derivar:

A ' x = 2 4 - x 2 + 2 x ∙ - 2 x 2 4 - x 2 = 8 - 4 x 2 4 - x 2

Passo 5

Agora igualamos isso a zero pra encontrar os pontos críticos:

8 - 4 x 2 4 - x 2 = 0

Repare que a única maneira da igualdade acima ser verdadeira é o numerador ser zero. Então podemos fazer apenas:

8 - 4 x 2 = 0

4 x 2 = 8

x 2 = 2

x = ± √ 2

Passo 6

Tendo os pontos críticos, podemos fazer o teste da primeira derivada para descobrir se são máximos ou mínimos. Observe que na expressão

8 - 4 x 2 4 - x 2

8 - 4 x 2 :

  • O sinal é negativo antes de - √ 2 e depois fica positivo, portanto esse ponto é um mínimo local
  • O sinal é positivo antes de + √ 2 e depois fica negativo, portanto esse ponto é um máximo local

Passo 7

Agora que descobrimos o ponto de máximo ( + √ 2 ) podemos substitui-lo na função da área, assim, encontrar a maior área possível.

A 2 = 2 2 ∙ 4 - 2 2 = 2 2 ∙ 2 = 4

Resposta

a) A ( x ) = 2 x ∙ 4 - x 2 e D o m A = ( 0 ,   2 )

b) 4 u.a

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