Considere dois números reais positivos a ,   b tais que

a b = 16

Queremos minimizar a quantidade 4 a + b . Para isso:

  1. Determine uma função f   de uma variável tal que o valor mínimo de f   corresponda à solução do problema acima. Indique também o domínio dessa função.
  2. Determine o valor mínimo de f , justificando sua resposta.

Passo 1

  1. Primeiro, observe quando o enunciado diz que queremos achar o mínimo da função 4 a + b , que possui duas variáveis. O item (a) pede pra gente determinar uma função de uma variável cujo valor mínimo seja o mesmo de 4 a + b . Então, na verdade, o que o item (a) realmente pede é que a gente transforme a função 4 a + b em uma função de apenas uma variável. E como vamos fazer isso? Usando a relação a b = 16 que foi dada:
  2. a b = 16

    b = 16 a

    Agora, substituindo   b = 16 a em 4 a + b obtemos:

    4 a + b = 4 a + 16 a

    Pronto! Agora podemos colocar x no lugar de a , só pra função ficar mais familiar, e temos:

    f x = 4 x + 16 x

    Passo 2

    Para determinar o domínio da função que achamos, é muito importante lembrar que a e b são números reais POSITIVOS. Isso significa que os números negativos não estarão no domínio dessa função. Além disso, f tem a fração 16 x e como não existe divisão por zero, o x = 0 também não faz parte do domínio. Assim, sobram os números reais positivos e maiores que zero.

    D o m f = ( 0 ,   + ∞ )

    Passo 3

  3. Agora sim vamos achar o mínimo de f . A primeira coisa que precisamos fazer é achar os pontos críticos, ou seja, os candidatos a serem máximos e mínimos. Esses pontos são obtidos fazendo isso aqui ó:

f ' x = 0

Então vamos pôr a mão na massa!

f ' x = 4 - 16 x 2

f ' x = 0 ↔ 4 - 16 x 2 = 0

4 = 16 x 2

x 2 = 4

x = ± 2

Show! Descobrimos que os pontos críticos são x = 2 e x = - 2 , mas como no domínio não tem números negativos, o ponto x = - 2 será descartado. Resta analisar se x = 2 é de fato um mínimo.

Passo 2

Para isso, a gente pode usar dois métodos diferentes, lembra deles? Tem o Teste da Primeira Derivada, que analisa os sinais da derivada, e o Teste da Segunda Derivada, que analisa o sinal da segunda derivada no ponto crítico em questão. Como f ' ( x ) é facilmente derivável, vamos usar o teste da segunda derivada.

f ' ' x = 32 x 3

f ' ' 2 = 32 2 3 = 32 8 = 4

Como f ' ' 2 > 0 , então x = 2 é um ponto de mínimo local.

Achou que tinha acabado? Nada disso! Fica esperto no que o enunciado está pedindo: ele quer o valor da função no seu ponto de mínimo. Então agora que achamos x = 2 como um mínimo, temos que achar o valor da função nesse ponto:

f 2 = 4 ∙ 2 + 16 2 = 8 + 8 = 16

Resposta

  1. f x = 4 x + 16 x e D o m f = ( 0 ,   + ∞ )
  2. 16

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