Encontre o ponto sobre a curva y = x 1 / 2 (onde x ≥ 0 ) que está mais próximo do ponto 2,0 .

Passo 1

Bom, se a gente quer achar o ponto, na curva, mais próximo de 2,0 , então a gente quer achar a menor distância entre o ponto e a curva.

No plano cartesiano, a gente tem essa fórmula aqui pra essa distância:

d = y 2 - y 1 2 + x 2 - x 1 2

Onde d é a distância entre os pontos x 1 , y 1 e x 2 , y 2 . No nosso caso:

x 1 , y 1 = 2,0

x 2 , y 2 = x . y = x , x 1 2

Beleza? Então vamos jogar isso na fórmula da distância e ver no que dá.

Passo 2

A nossa distância d é:

d = y 2 - y 1 2 + x 2 - x 1 2

d = x 1 / 2 - 0 2 + x - 2 2

d = x + x - 2 2

Tá, e nossa missão é minimizar a distância d . Se a gente elevar os dois lados dessa equação ao quadrado, ficamos com o seguinte:

d 2 = x + x - 2 2

O que é bem mais simples. E perceba o seguinte: dá no mesmo minimizar d ou d 2 .

Passo 3

Beleza, pra encontrar esse ponto de mínimo, primeiro temos que derivar a função em relação a x , e depois igualar a zero:

d d x x + x - 2 2 = 0

Separando isso em duas derivadas:

d d x x + d d x x - 2 2 = 0

A primeira é mais fácil de calcular:

1 + d d x x - 2 2 = 0

E a segunda exige a regra da cadeia:

d d x x - 2 2 = d x - 2 2 d x - 2 d x - 2 d x = 2 x - 2 1

Então:

1 + d d x x - 2 2 = 0

1 + 2 x - 2 = 0

2 x = 3

x = 3 2

Passo 4

Então essa distância é minimizada quando x = 3 / 2 . Nesse caso:

y = x 1 2

y = 3 2 1 / 2 = 3 2

Ou seja, o ponto da curva que fica mais próximo ao ponto 2,0 é:

P = 3 / 2 , 3 / 2

Resposta

O ponto mais próximo é P = 3 / 2 , 3 / 2 .

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