Exercícios Resolvidos de Otimização

UFF - Cálculo IA – GMA – 2008.2 – Lista 16 - 10

Um fabricante produz por semana Equation toneladas de um certo produto. O preço de venda é de Equation unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com Equation por Equation , Equation . O custo de produção é de Equation unidades monetárias. Determine Equation para que o lucro Equation seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Não tem muito o que desenhar aqui, então vamos para o passo 2.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Tá, vamos ver todas as informações que o problema nos deu aqui.

Equation

Equation é a quantidade de produtos. Equation é o preço de venda. Temos também: Equation

Que é o custo de produção. Não é, porém, essa função que ele quer otimizar. É a função lucro que será a venda menos o custo:

Equation

Onde Equation é o preço de cada unidade multiplicado pela quantidade delas.

Equation

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

O problema é que Equation não é constante. Depende de Equation . Temos que deixar isso aí em função de Equation para podermos otimizar. Então voltamos na primeira equação e isolamos Equation :

Equation

O que, se substituirmos os valores das relações do enunciado, fica assim:

Equation

Equation

Equation

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Para acharmos os pontos críticos, onde estarão localizados os pontos de máximo e mínimo, devemos derivar:

Equation

Os pontos críticos estão onde a derivada não existe ou é zero. Ela sempre vai existir, pois é um polinômio. Vamos ver quando é zero:

Equation

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Podemos escolher um valor à esquerda Equation e outro à direita Equation :

Equation

Equation

Como é positiva à esquerda e negativa à direita, temos aí um ponto de máximo.

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros máximo para comparar, então vamos para o outro passo.

Passo 7

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo Equation e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

Equation pode ir de zero, pois não tem como ter quantidade negativa, até mais infinito.

Equation

E:

Equation

No nosso ponto de máximo:

Equation

Equation

Comparando com outros valores, concluímos que se trata de um ponto de máximo global.

Resposta

Equation

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