Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com x por 5 x = 375 - 3 p , p ≥ 0 . O custo de produção é de C x = 5 + 15 x + x 2 6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro ( = v e n d a - c u s t o ) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

Passo 1

O cara disse que esse esse lucro é dado pela venda menos o custo. O Custo total é o C ( x ) , já a venda por tonelada é esse p , que é basicamente a venda total dividida por x toneladas. Assim, o lucro será dado por:

L x = p . x - C x

O que, se substituirmos os valores das relações do enunciado, fica assim:

L x = 125 - 5 x 3 x - 5 + 15 x + x 2 6

L x = 125 x - 5 x 2 3 - 5 - 15 x - x 2 6

L x = - 11 x 2 6 + 110 x - 5

Aí basta a gente otimizar, né? É só derivar e igualar a 0 . Agora, você deve lembrar do ensino médio que o x V , famoso x do vértice, que é justamente o ponto de máximo ou mínimo (no caso como o termo que multiplica x 2 é negativo, a parábola tem boca para baixo e esse x V é um máximo), tem equação dada por:

x V = - b 2 a = - 110 2 - 11 6 = 10 6 2 = 30

Se a gente derivar e igualar a 0 o resultado será o mesmo! Enfim, o lucro máximo será L ( 30 ) .

L 30 = - 11 30 2 6 + 110 30 - 5

L 30 = 1645

Resposta

x = 30   t o n .   ; L 30 = 1645   u n i .   m o n .

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