Jurema tem uma folha de cartolina retangular com dimensões 3   c m   x   4   c m . Ela gostaria de fazer uma caixa sem tampa cortando quadrados iguais nos quatro cantos da folha e dobrando para cima os quatro lados. Determine as dimensões da caixa que Jurema pode fazer de modo que seu volume seja máximo.

Passo 1

Chamaremos de x o lado de cada quadrado que será cortado. Para fazer a caixa que deseja, Jurema terá que cortá-los da seguinte maneira:

Com isso, podemos dizer que as dimensões da caixa serão as seguintes dimensões:

A l t u r a = x

l a d o 1 = 3 - 2 x

l a d o 2 = 4 - 2 x

Observe que 2 x tem que ser menor que 3 2 , pois, caso contrário, o l a d o 1 , que é o menor, seria negativo. Assim,

x ϵ 0 , 3 2

Passo 2

Agora podemos escrever a equação do volume:

V x = x ( 3 - 2 x ) ( 4 - 2 x )

V x = x ( 12 - 6 x - 8 x + 4 x 2 )

V x = x ( 12 - 14 x + 4 x 2 )

V x = 12 x - 14 x ² + 4 x ³

V x = 4 x 3 - 14 x 2 + 12 x

Como precisamos saber o volume máximo, vamos derivar essaa função para encontrar seus pontos críticos e ver se eles são extremos.

V ' x = 12 x 2 - 28 x + 12

Assim,

V ' x = 0

12 x 2 - 28 x + 12 = 0

3 x 2 - 7 x + 3 = 0

x 1 = 7 + 13 6

x 2 = 7 - 13 6

Passo 3

Analisando o sinal de V ' :

Em x 2 = 7 - 13 6 a função muda de crescente (positiva) para decrescente (negativa). Portanto, esse ponto é ponto de máximo.

O outro ponto crítico não está no domínio 0 , 3 2 , pois

7 + 13 6 > 3 2

Logo, não precisamos analisa-lo.

Passo 4

Agora é só substituir o valor de x máximo encontrado para descobrir as dimensões da caixa.

A l t u r a = 7 - 13 6

l a d o 1 = 3 - 2 7 - 13 6 = 3 - 7 - 13 3

l a d o 2 = 4 - 2 7 - 13 6 = 4 - 7 - 13 3

Resposta

A l t u r a = 7 - 13 6   c m

l a d o 1 = 3 - 7 - 13 3   c m

l a d o 2 = 4 - 7 - 13 3   c m

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