É preciso delimitar um terreno que tenha formato retangular de 300 m ² usando muros externos e divisórias internas como na figura.

Sabendo-se que o preço do muro é R $   10,00 / m e o preço das divisórias é R $   5 , 00 / m , determine as dimensões do terreno de modo que o custo total seja o menor possível.

Passo 1

Vamos chamar a largura do terreno de x e o comprimento de y . Assim, podemos definir:

A = x . y = 300 m ²

Além disso, pela figura sabemos que serão necessários 2 x + y metros de divisórias e 2 x + 2 y metros de muro. Dessa forma, o custo total será

C = 5 2 x + y + 10 ( 2 x + 2 y )

C = 10 x + 5 y + 20 x + 20 y

C = 3 0 x + 2 5 y

Usando a equação da área, vamos isolar y em função de x .

y = 300 x

Substituindo na função do custo ficamos com:

C = 30 x + 2 5 300 x

C = 30 x + 7500 x

Passo 2

Como queremos o custo mínimo, podemos derivar a função C e ver se possui ponto de mínimo.

C ' = 30 - 7500 x ²

C ' = 30 x ² - 7500 x ²

Passo 3

Vamos ver se possui ponto(s) crítico(s).

30 x ² - 7500 x ² = 0

30 x 2 - 7500 = 0

30 x 2 - 7500 = 0

x 2 = 250

x = 250 = 5 10

Analisando o sinal da derivada:

Quando x < 5 10 : C ' < 0

Quando x > 5 10 : C ' > 0

Portanto x = 5 10 é um mínimo da função.

Passo 4

Agora é só substituir o x encontrado na equação da área para determinar y .

5 10 . y = 300

y = 60 10

y = 60 10 10

y = 6 10

Resposta

x = 5 10   m

y = 6 10   m

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