Questão 2:

Considere um triângulo com um vértice no ponto A = 3 ,   1 e outros dois vértice, B e C , pertencentes à curva de equação x = y 2 . As seguintes condições devem ser satisfeitas:

  • O lado B C é paralelo ao eixo y .
  • A abscissa (coordenada x ) do vértice A é maior que as abscissas dos vértices B e C .
  • A ordenada (coordenada y ) do vértice B é maior que a ordenada do vértice C .

Seja x a abscissa do vértice B .

  1. Determine o domínio e a expressão da função A x que fornece a área do triângulo em termos de x .
  2. Determine a área do triângulo A B C que tem área máxima.

Obs.: Respostas sem justificativas não serão aceitas.

Passo 1

a )

Vamos começar aqui desenhando esse tal triângulo de acordo com as condições do enunciado. Pois bem, sabemos que ele tem dois vértices, B e C sob a parábola x = y 2 ... O outro ponto é o A = 3 ,   1 .

O problema nos disse que o lado B C é paralelo ao eixo y ...

E que a coordenada x de A é sempre maior que as coordenadas dos outros vértices, ou seja, o triângulo sempre está do lado esquerdo de A .

A outra informação, de que a ordenada de B é maior do que a de C , é só para indicar que o B está lá em cima, como no desenho.

Passo 2

Bem, se você falar que o lado B C passa por x , a ordenada do B será...

x = y 2     →           y b = x

y c = - x

O Domínio da função área será sempre até a coordenada x pode ir, ou seja... De 0 até 3 ...

D o m A = 0 ,   3

Passo 3

Para determinar a função área, bem... É só calcularmos a área desse triângulo aqui:

A x = b a s e ⋅ a l t u t a 2

Se considerarmos a base essa retinha paralelo ao y , o seu tamanho é...

b a s e = y b - y c = x - - x =

2 x

Enquanto que á altura será...

a l t u r a = 3 - x

A x = b a s e ⋅ a l t u t a 2

A x = 2 x ⋅ 3 - x 2

A x = 3 - x x

Passo 4

b )

O que precisamos fazer aqui é otimizar a função área. Para fazer isso, vamos buscar pelos pontos críticos, ou seja, pontos que satisfaçam...

A ' x = 0

Derivando a função área aplicando a regra do produto...

A x = 3 - x x     →

A ' x = 3 - x ' x + 3 - x x '     →

A ' x = - x + 3 - x 2 x         →

A ' x = - x 2 x 2 x + 3 - x 2 x         →

A ' x = - 2 x + 3 - x 2 x         →

A ' x = - 3 x + 3 2 x = 3 2 1 - x x

Passo 5

O único x que zera essa derivada é...

A x ' = 3 2 1 - x x = 0

1 - x = 0     →         x = 1

Esse é único ponto crítico e, portanto, o único candidato a ponto de máximo. Apenas temos que verificar se isso é verdade, analisando o sinal da primeira derivada...

A x ' = 3 2 1 - x x

A função x é sempre positiva, logo o único sinal que manda em tudo é o sinal de

g x = 1 - x

x < 1         →                 g x > 0

E isso implica em A x ' > 0

Quando

x > 1     →           g x < 0       →             A x ' < 0

Como sabemos que

A x ' > 0                 a         f u n ç ã o       é   c r e s c e n t e

A x ' < 0                 a         f u n ç ã o       é   d e c r e s c e n t e

Então de fato se antes de x = 1 , temos a função crescendo e depois de 1 a função decrescendo, o 1 , é justamente o ponto de maior valor, saca?

A x = 3 - x x         →           A 1 = 2

Então essa é a maior área possível !

Resposta

a )     D o m A = 0 ,   3         e           A x = 3 - x x

b )         2

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