Questão 1) Determinar o ponto da curva y = x 2 - 5 , com x ≥ 0 , mais próximo da origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Se você desenhar essa curva, só para termos uma noção

queremos algum ponto dessa parte da parábola y = x 2 - 5 que mais se aproxima da origem.

Trata-se aqui de uma questão de otimização, e como toda questão de otimização, precisamos encontrar qual função iremos otimizar. Bem, o próprio problema nos disse que queremos o ponto da curva de menor distância.

Distância de um ponto x ,   y a origem é sempre dado por...

d = x 2 + y 2

Bem, esse ponto de menor distância está em cima da curva onde y = x 2 - 5 ...

d x = x 2 + x 2 - 5 2 =

x 4 - 9 x 2 + 25

Cara, trabalhar com raiz não é legal, e pensa comigo, o ponto que minimiza a distância, também minimiza o quadrado dela...

d 2 x = x 4 - 9 x 2 + 25

Então, a função f x que iremos minimizar é a distância ao quadrado...

f x = x 4 - 9 x 2 + 25

Passo 2

Vamos então agora, procurar quais são os pontos críticos dessa função fazendo:

f ' x = 0

Derivando, portanto, a função...

f x = x 4 - 9 x 2 + 25                   →                   f ' x = 4 x 3 - 18 x

Igualando essa derivada a 0 ...

4 x 3 - 18 x = 0           →                 2 x 2 x 2 - 9 = 0

Os valores de x que zeram essa bricadeira é...

x 1 = 0

2 x 2 - 9 = 0               →                 x 2 = - 3 2 x 3 = 3 2

Mas aí surge uma dúvida, será que de fato são mesmo todos pontos críticos?

Passo 3

A verdade é que não. O motivo é simples de se entender:

O enunciado quer a otimização apenas a parte da parábola onde x ≥ 0 , o que já exclui x 2 = - 3 2 de ser um ponto crítico.

Quanto ao ponto x 1 = 0 e ao x 3 = 3 2 , bem vamos testar:

f x = x 4 - 9 x 2 + 25

f 0 = 25

Já o outro...

f 3 2 = 3 2 4 - 9 3 2 2 + 25 →

f 3 2 = 81 4 - 81 2 + 25 →

f 3 2 = - 81 4 + 25

Então note, quem é o menor? Sim, f 3 2 , pois ele tem uma parcela negativa. Logo

x = 3 2

De fato é o ponto que mais se aproxima da origem, sacou?

O y desse ponto...

y = x 2 - 5     →

y = 3 2 2 - 5   →

y = 9 2 - 5 = - 1 2

Resposta

3 2 , - 1 2

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