Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

PUC - Física 3 – P3 2018.1 - 3

Considere o circuito de corrente alternada da figura 1, onde a frequência angular da fonte é   ω = 1000   r a d / s . A posição relativa dos fasores da fonte e da corrente é mostrada na figura 2. Com a adição de um indutor em série L = 500   μ H , a posição relativa dos fasores muda para a da figura 3.

Determine, justificando todas as respostas:

  1. O valor da capacitância C .
  2. A amplitude da corrente na ausência da indutância L .
  3. O valor da resistência R .
  4. A potência média fornecida pela fonte sem a indutância L
  5. A potência média fornecida pela fonte com a indutância L .
  6. A potência média absorvida pelo resistor sem e com a indutância L .

Passo 1

a) Na figura 3, após a introdução do indutor no circuito, temos a corrente em fase com fonte alternada E ( t ) . Para resolver este item, vamos precisar nos lembrar que a fase φ entre a amplitude da corrente I m e amplitude da tensão da fonte E m é dada por

tan ⁡ φ = V L m - V C m V R m = X L - X C X R   ,

com V L m , V C m e V R m sendo as amplitudes das voltagens em cada um dos elementos do circuito RLC em série.

Como a corrente está em fase com a ddp, então φ = 0 , o que nos dá, quando jogamos esse valor na expressão acima,

X C = X L   ⇒   1 ω C = ω L   ,

que é a condição de ressonância, ou seja, a condição que nos dá o maior valor para a amplitude da corrente I m e, nesse caso, a impedância é igual a resistência: Z = R .

De X C = X L , tiramos que a capacitância é dada por

C = 1 ω 2 L = 1 1000 2 × 500 × 10 - 6     ⇒   C = 2   ×   10 - 3   F   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Sabemos que a amplitude da voltagem no capacitor é dada por

V C m = X C I m = I m ω C ⇒ I m = ω C V C m   .  

Ainda não temos o valor de V C m . Para encontrar seu valor, vamos representar a figura 2 da seguinte maneira, em que colocamos a amplitude da voltagem V R m e também a amplitude da voltagem no capacitor V C m .

A gente vê que V R m está em fase com a amplitude da corrente I m e que V C m está atrasado de de 90 ˚ em relação a V R m . Como φ = 30 ˚ , a partir do triângulo acima, podemos tirar a seguinte relação

se n ⁡ 30 ˚ = V C m E m   ⇒     V C m = E m se n ⁡ 30 ˚ = 20 2 = 10   V   .

Substituindo em I m , temos

I m = 10 3   ×   2 × 10 - 3   ×   10   ⇒   I m = 20   A   .

Passo 3

c) Ainda olhando para o triângulo acima, podemos também tirar a relação

cos ⁡ 30 ˚ = V R m E m ⇒ V R m = 3 2   ×   20 = 10 3   V .

Mas, como V R m = R I m , temos

R = 10 3 20 = 0,5 3   Ω   .

Passo 4

d) A potência média é dada por

P m é d = E q m I q m cos ⁡ φ   ,

em que E q m = E m / 2 , I q m = I m / 2 e cos ⁡ φ é o fator de potência. Sem o indutor, teremos um valor médio igual a

P m é d = 20 2 20 2 cos ⁡ 30 ˚   ⇒   P m é d = 100 3   W   .

Passo 5

e) Com o indutor, como mostra a figura 3, ocorre a ressonância, em que a corrente está em fase com a ddp alternada E ( t ) . Já vimos que nesse caso, φ = 0 ˚ e, então, o fator de potência será

cos ⁡ 0 ˚ = 1   .

Isso nos dá que a potência média será

P m é d = E q m I q m * = 20 2 I q m *   .  

Precisamos encontrar I q m * , precisamos nos lembrar que, na ressonância ( X C = X L ), Z = R e a amplitude máxima da corrente será

I m * = E m R = 20 0,5 3 = 40 3   A   .

Como isso, encontramos que a potência média será

P m é d = 20 2 40 2 3     ⇒     P m é d = 400 3   W   .

Passo 6

f) Sem o indutor, temos uma potência média no resistor de

P m é d = R I q m 2 = 0,5 3 × 20 2 2   ⇒   P m é d = 100 3   W   .

Com o indutor

P m é d = R I q m * 2 = 0,5 3 × 40 2 3 2   ⇒   P m é d = 400 3   W   .

Resposta

  1. C = 2   ×   10 - 3   F   ;
  2.   I m = 20   A   ;
  3. R = 0,5 3   Ω   ;
  4. P m é d = 100 3   W   ;
  5. P m é d = 400 3   W   ;
  6. Sem o indutor: P m é d = 100 3   W   ; Com o indutor: P m é d = 400 3   W   .

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