Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Física 3 – UNICAMP – 2019.1 – Exame – Questão 2

A figura mostra um filtro passa-alta, composto de um resistor de resistência R , um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C , que permite a passagem de frequências altas com facilidade, porém atenua (ou reduz) a amplitude das frequências abaixo de uma frequência de corte. A amplitude da tensão de entrada é V e e a amplitude da tensão de saída é V s , que é medida nos extremos do indutor. Calcule, em função da frequência angular ω da fonte:

a) A amplitude da corrente que circula no circuito.

b) A amplitude da tensão de saída V s .

c) A relação entre as amplitudes, ou seja, V s / V e .

d) Calcule o limite da razão V s / V e para ω → ∞ .

Passo 1

Esse é um problema clássico de circuito RLC. Vamos considerar a fonte senoidal e trabalhar com a notação complexa:

E = V e   e i ω t

Como o circuito está em série, a impedância total do circuito é a soma das impedâncias de cada elemento:

Z = Z R + Z L + Z C

Mas como Z R = R , Z L = i   X L e Z C = - i   X C , temos que

Z = R + i   X L - X C

Lembre-se que X C = 1 / ω C e X L = ω L . Usando a lei de Ohm:

E = Z   I → V e   e i ω t = R + i   X L - X C   I

Cuidado para não confundir I com i . O primeiro é a corrente complexa e o segundo é a raiz quadrada de - 1 (unidade imaginária).

Com isso, podemos escrever:

I = I 0   e i ω t + ϕ = I 0   e i ϕ   e i ω t

Logo,

V e   e i ω t = R + i   X L - X C   I 0   e i ϕ   e i ω t

I 0 e i ϕ = V e R + i   X L - X C

Para escrever isso de um jeito mais amigável, vamos multiplicar o numerador e o denominador por R - i   X L - X C :

I 0 e i ϕ = V e R + i   X L - X C ⋅ R - i   X L - X C R - i   X L - X C

I 0 e i ϕ = V e R 2 + X L - X C 2 R - i   X L - X C

Além disso, podemos escrever

R - i   X L - X C = A   e i ϕ ,

onde

A = R 2 + X L - X C 2

tan ⁡ ϕ = p a r t e   i m a g i n a r i a p a r t e   r e a l = - X L - X C R

Com isso, temos que

I 0   e i ϕ = V e R 2 + X L - X C 2 R 2 + X L - X C 2   e i ϕ

Portanto, a amplitude da corrente será

I 0 = V e R 2 + X L - X C 2

Substituindo as expressões de X L e X C :

I 0 = V e R 2 + ω L - 1 ω C 2

No fundo, toda essa conta que eu fiz aqui é a teoria sobre circuitos RLC. Nos resumos do RespondeAí isso é explicado com mais detalhe, vai dar uma olhadinha lá se ficou alguma dúvida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar a tensão de saída no indutor, usamos:

E L = Z L I = - i X L I 0 e i ω t + ϕ

Além disso,

- i = e - i   π / 2

Assim,

E L = X L I 0 e i ω t + ϕ - π 2

A amplitude dessa tensão complexa é simplesmente

V S = X L I 0

Portanto,

V S = X L V e R 2 + ω L - 1 ω C 2

Como X L = ω L :

V S = ω L   V e R 2 + ω L - 1 ω C 2

Passo 3

Com a resposta do item (b) o item (c) é coisa mais fácil do mundo:

V S V e = ω L R 2 + ω L - 1 ω C 2

Vale ressaltar que a tensão no indutor está defasada com relação a tensão da fonte, e essa defasagem é dada por ϕ - π / 2 , onde ϕ foi achado no passo 1.

Por fim, no item (d), queremos calcular o limite ω → ∞ . Para fazer esse limite, vamos olhar para o denominador primeiro:

R 2 + ω L - 1 ω C 2 = R 2 + ω 2 L - 1 ω 2 C 2 = ω R 2 ω 2 + L - 1 ω 2 C 2

Assim,

V S V e = ω L ω R 2 ω 2 + L - 1 ω 2 C 2 = L R 2 ω 2 + L - 1 ω 2 C 2

Tomando o limite com ω → ∞ , temos que

R 2 ω 2 → 0                 e           1 ω 2 C → 0

Com isso,

V S V e → L L 2 = L L = 1

Isso significa que para frequência altas, praticamente toda tensão de entrada “sai” no indutor. Daí o nome filtro “passa-alta”.

Aqui fechamos o problema 😉.

Resposta

I 0 = V e R 2 + ω L - 1 ω C 2

V S = ω L   V e R 2 + ω L - 1 ω C 2

V S V e = ω L R 2 + ω L - 1 ω C 2

V S V e → 1             p a r a       ω → ∞

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