Quando uma bola de futebol é chutada na direção de um jogador e este a rebate cabeceando, a aceleração que a cabeça sofre durante a colisão pode ser apreciável. Partindo do repouso, a Figura abaixo mostra esta aceleração em função do tempo, a(t): Trata-se da cabeça do jogador de futebol medida em duas situações: quando ele usa a cabeça desprotegida (Bare) e quando o faz usando um capacete (Helmet). Qual é a diferença entre as velocidades da cabeça desprotegida e com o capacete no instante t = 7 ms?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

O problema nos deu um gráfico de aceleração versus tempo e nos pediu para calcular a diferença entre as velocidades no instante t = 7 s .

Para começar vamos lembrar a definição de velocidade:

v ( t ) =   ∫ a t d t

sem esquecer que a integral é a área da função que estamos integrando.

Então, a partir das áreas dos gráficos, conseguimos extrair o valor da velocidade em cada instante de tempo.

Assim, podemos encontrar a diferença entre a velocidade da cabeça sem (Bare) e com capacete (Helmet) no instante t = 7,0   m s ( v d ) calculando a diferença dessas áreas ( A T o t a l 1 -   A T o t a l 2 ).

Porém, como nem tudo são flores, precisamos prestar atenção as unidades do problema. O eixo da aceleração (eixo y ) está em m / s 2 e o eixo do tempo (eixo x ) está em m s , logo, precisamos consertar as unidades.

10 - 3 para transformar de milissegundo para segundo.

Além disso, podemos ver que se a s = 200   m / s 2 , cada quadradinho no eixo y tem 20   m / s 2 .

A ideia para a resolução de problemas como este (com gráficos), o macete é separar o gráfico em figuras com as fórmulas de áreas conhecidas. As fórmulas das áreas figuras que aparecem neste exercício são:

A t r i â n g u l o = b × h 2

A t r a p é z i o = B + b × h 2

A r e t â n g u l o = b × h

Beleza? Mas calma, vou fazer junto com você! Vamos lá?

Passo 2

v s ), para isso, calcularemos a área A s . A curva é a amis de cima:

Neste caso, dividiremos a área total em quatro partes: dois triângulos e dois trapézios.

Primeira divisão (triângulo amarelo):

A s 1 = ( 2 - 0 ) × 10 - 3 × 6 × 20 2 = 0,12   m / s

Segunda divisão (trapézio vermelho):

A s 2 = 7 × 20 + 6 × 20 × ( 4 - 2 ) × 10 - 3 2 = 0,26   m / s

Terceira divisão (trapézio verde):

A s 3 = 10 × 20 + 7 × 20 × 6 - 4 × 10 - 3 2 = 0,34   m / s

Quarta divisão (triângulo azul):

A s 4 = 10 × 20 × 7 - 6 × 10 - 3 2 = 0,1   m / s

Assim, encontramos a velocidade da cabeça sem capacete ( v s ) no instante t = 7,0   m s somando as áreas acima:

v s = A s = A s 1 +   A s 2 +   A s 3 + A s 4 = 0,12 + 0,2 + 0,34 + 0,10 = 0,82   m / s

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, faremos de maneira análoga para calcular a velocidade da cabeça com capacete ( v c ). A área que calcularemos é a área embaixo da curva mais abaixo A c :

Para esta área podemos separar em outras quatro partes: dois triângulos, um retângulo e um trapézio:

Primeira divisão (triângulo amarelo):

A c 1 = 2 × 20 × 3 - 0 × 10 - 3 2 = 0,06   m / s

Segunda divisão (retângulo vermelho):

A c 2 = 4 - 3 × 10 - 3 × 2 × 20 = 0,04   m / s

Terceira divisão (trapézio verde):

A c 3 = 6 - 4 × 10 - 3 × 2 × 20 + 4 × 20 2 = 0,12   m / s

Quarta divisão (triângulo azul):

A c 4 = 7 - 6 × 10 - 3 × 4 × 20 2 = 0,04   m / s

Assim, a velocidade da cabeça com capacete ( v c ) no instante t = 7,0   m / s é:

v c = A c = A c 1 +   A c 2 +   A c 3 +   A c 4 = 0 ,   06 + 0,04 + 0,12 + 0,04 = 0,26   m / s

Belezinha?

Passo 4

Para finalizar, utilizando os resultados dos passos 2 e 3 podemos calcular a diferença entre a velocidades sem e com capacete ( v d ). Com os valores das velocidades em mãos, basta subtrair uma da outra:

v d = v s -   v c = 0,82 - 0,26 = 0,56   m / s

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

0,56   m / s

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