Uma partícula parte da origem em t = 0 s e se move ao longo do eixo x. O gráfico da velocidade da partícula em função do tempo, v(t), é mostrado na Figura abaixo.

(a) Qual é a coordenada da partícula no instante t = 5 s?

(b) Qual é a sua velocidade em t = 5 s?

(c) Qual é a sua aceleração em t = 5 s?

(d) Qual é a sua velocidade e aceleração médias entre t = 1 s e t = 5 s?

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Essa questão aprece complicada, mas vou ajudar aqui! Foi dado um gráfico de velocidade por tempo e o enunciado perguntou uma série de valores.

O primeiro item pediu a coordenada da partícula em um certo instante de tempo. Bom, para isso precisamos lembrar que quando temos um gráfico de v × t a área embaixo da curva representa o deslocamento da partícula! Taí a primeira dica para resolver!

Para encontrar a velocidade em um certo instante, basta olhar para o gráfico! Aqui precisamos ficar de olho na escala do gráfico! E no fim, a aceleração média é a variação da velocidade em um certo intervalo de tempo.

Então a ideia para resolver é o seguinte: lembrar desses conceitos, retirar toda as informações do gráfico e partiu calcular!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a):

Para começar vamos lembrar a definição de deslocamento:

x ( t ) =   ∫ v t d t

sem esquecer que a integral é a área da função que estamos integrando!

O exercício nos deu o gráfico da velocidade. Então, para calcular o deslocamento, ou a posição da partícula em t = 5   s ( x a , considerando que a posição inicial é zero), basta calcularmos a área do gráfico de 0 até 5   s e g u n d o s .

Para resolução de problemas como este (com gráficos), o macete é separar o gráfico em figuras, para as quais as fórmulas de área são conhecidas. A fórmula que você precisa saber para resolver este exercício é:

A t r a p é z i o = B + b × h 2

Então, separando o gráfico acima em duas partes, ficamos com:

Primeira figura (trapézio amarelo):

x ' = A 1 = 4 + 2 × 4 2 = 12   m

Segunda figura (trapézio verde):

x ' ' = A 2 = 4 + 2 × 1 2 = 3   m

Portanto, para encontrar a posição da partícula no instante t = 5   s somamos as áreas calculadas acima:

x a = x ' + x ' ' = 12 + 3 = 15   m

Beleza? Vamos para o próximo item?

Passo 3

Letra (b): velocidade no instante t = 5 s .

Podemos retirar a velocidade no instante t = 5   s olhando diretamente o gráfico dado. Como o enunciado diz que dois retângulos equivalem a v s = 4   m / s , então um retângulo equivale a 2   m / s .

Portanto, como no instante t = 5   s o gráfico da velocidade intercepta o primeiro retângulo da grade, a velocidade neste instante é:

v = 2   m / s

Passo 4

Letra (c): aceleração em t = 5 s .

Para resolver esta etapa vamos lembrar a relação da velocidade e da aceleração: a aceleração é a variação da velocidade no tempo, ou seja, é a inclinação da velocidade no gráfico de velocidade por tempo.

Logo, para determinar a aceleração no instante t = 5   s precisamos determinar o coeficiente angular da reta, ou seja, a tangente de θ :

tan ⁡ θ = a = - 2 1 = - 2   m/ s 2

Notem que a reta está descendo, então é correto que a aceleração seja negativa!

Beleza?

Vamos para o último item?

Passo 5

Letra (c): velocidade e aceleração médias entre t = 1 s e t = 5 s

Para calcular a velocidade média precisamos ter em mente que nem sempre a velocidade média e a velocidade instantânea serão numericamente iguais. Neste problema, por exemplo, a velocidade média e a velocidade instantânea não são iguais!

Então, vamos definir primeiro o que é velocidade média: é a variação da posição sobre a variação do tempo.

v m = ∆ x ∆ t

Portanto, para calcular a velocidade média da partícula entre t = 1,0   s e t = 5,0   s precisamos calcular o deslocamento nesse período e para calcular esse deslocamento vamos ter que calcular a área do gráfico entre estes instantes:

Calculando as áreas e aproveitando a simetria da figura:

Primeira figura (trapézio laranja):

A 1 = x ' = 4 + 2 × 1 2 = 3   m

Segunda figura (retângulo verde):

A 2 = x ' ' = 2 × 4 = 8   m

Portanto, o deslocamento total entre os instantes t = 1   s e t = 5   s é:

x 1,5 = 2 × x ' + x ' ' = 2 × 3 + 8 = 14   m

Usando a definição de velocidade média, temos:

v m = 14 5 - 1 = 14 4 = 3,5   m / s

Ufa! Quase no fim!

Passo 6

E por fim a aceleração média!

Relembrando, inicialmente, a definição de aceleração média:

a m = ∆ v ∆ t

Como a velocidade no instante t = 1   s é igual a velocidade no instante t = 5   s , então a variação da velocidade é zero e, portanto:

a m = 0

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

a 15   m

b v = 2   m / s

c a = - 2   m/ s 2

d v m = 3,5   m / s

a m = 0

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