Exercícios Resolvidos de Gráficos do Movimento Retilíneo

O gráfico ao lado mostra a velocidade de um carro em função do tempo para o intervalo 0 ≤ t ≤ 7   s . A expressão da velocidade instantânea, no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 2   s é:

v t =   2 -   t   +   3 t 2

Considerando que o carro em t   =   0 encontra-se na posição x   =   1   m , podemos afirmar que sua posição em t   =   7   s é:

Dado:

∫ A x n d x   =   A   x n + 1 ( n + 1 ) ,   o n d e   A   é   c o n s t a n t e

Passo 1

O que ele tá querendo é a posição da partícula em t=7s.

Temos a velocidade da partícula em cada instante de tempo, e com isso podemos encontrar a posição dela. Pra isso vamos usar a seguinte relação :

∫ t 1 t 2 v ( t ) d t = ∆ x

Então, bora lá resolver:

A primeira parte o enunciado fala pra gente

∆ x 1 = ∫ t 1 t 2 v t d t = ∫ 0 2   2 -   t   +   3 t 2 d t

Resolvendo isso:

∆ x 1 = 10   m

Esse foi o deslocamento da partícula entre os instantes t = 0   e t = 2   s . mas lembra que o enunciado falou que a posição inicial é x = 1   m . Então, a posição da partícula em t=2 s é na verdade a posição inicial mais o quanto ela andou:

x 2 = 1 + 10 = 11   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show! Vamos pra outra parte do gráfico. Entre os instantes 2 e 4 temos um segmento de reta horizontal, ou seja, a velocidade é constante, então:

∆ x 2 = ∫ t 1 t 2 v t d t = ∫ 2 4   12 d t

Resolvendo isso:

∆ x 2 = 24   m

Então a posição em t=4 s é a posição que ela tava mais o quanto ela andou.\

x 4 = 11 + 24 = 35   m

Passo 3

Vamos pra outra parte do gráfico. Entre os instantes 4 e 5 temos um segmento de reta decrescente. Vamos achar a equação da velocidade em função do tempo para esse segmento.

v = v 0 + a t

Temos que a = d v / d t , ou seja, a tangente dessa reta. E v 0 é o ponto que corta o eixo y. olhando para o gráfico, temos:

a = ∆ v ∆ t = 12 - 1 = - 12   m / s 2

Agora, vamos escolher o ponto (5,0) que pertence a reta e substituir na equação, :

v = v 0 + a t

0 = v 0 - 12   5

v 0 = 60   m / s

Então

v = v 0 + a t

v = 60 - 12 t

Logo:

∆ x 3 = ∫ t 1 t 2 v t d t = ∫ 4 5 60 - 12 t   d t

Resolvendo isso:

∆ x 3 = 6   m

Então a posição em t=5 s é a posição que ela tava mais o quanto ela andou.\

x 4 = 35 + 6 = 41   m

Passo 4

Vamos ver agora a última parte do gráfico. Entre os instantes 5 e 7 temos um segmento de reta decrescente. Vamos achar a equação da velocidade em função do tempo para esse segmento.

v = v 0 + a t

Temos que a = d v / d t , ou seja, a tangente dessa reta. E v 0 é o ponto que corta o eixo y. olhando para o gráfico, temos:

a = ∆ v ∆ t = - 4 2 = - 2   m / s 2

Agora, vamos escolher o ponto (5,0) que pertence a reta e substituir na equação, :

v = v 0 + a t

0 = v 0 - 2   ( 5 )

v 0 = 1 0   m / s

Então

v = v 0 + a t

v = 1 0 - 2 t

Logo:

∆ x 4 = ∫ t 1 t 2 v t d t = ∫ 5 7 10 - 2 t   d t

Resolvendo isso:

∆ x 4 = - 4     m

Então a posição em t=7 s é a posição que ela tava mais o quanto ela andou.

x 7 = 41 - 4 = 37   m

Maravilha!! Essa é a resposta!

Resposta

37 m

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