Exercícios Resolvidos de Gráficos do Movimento Retilíneo

Um objeto de 2   K g , inicialmente em repouso na origem, é submetido à força variável com o tempo mostrada na figura abaixo.

a) Qual a velocidade do objeto em t = 4 s ?

b) Qual a sua posição em t = 4 s ?

Passo 1

a)

Para resolver essa questão, vamos usar a segunda lei de Newton:

F x = m a

A partir disso, podemos passar esse gráfico de F x vs t para a x vs t , conforme abaixo:

Repare que a força máxima no gráfico do enunciado era 6N. Pela segunda lei de newton:

F m a x i m a = m a

a m a x i m a = F m a x i m a m = 6 2 = 3 m / s 2

Isso é justamente o que apresentamos no gráfico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza! Mas como vamos interpretar esse gráfico? A aceleração não é constante, então fica complicado aplicar as equações da cinemática.

Bom, podemos usar a área do gráfico.

v t = v 0 + á r e a   d o   g r á f i c o   e n t r e   0 s   a t é   t

Como v 0 = 0 , teremos que v ( 4 ) será dado pela área do gráfico até 4s.

Á r e a   g r á f i c o = á r e a R e t + á r e a T r i a n g u l o

Á r e a   g r á f i c o = 6 + 2 × 3 2 = 9

v 4 = 9   m / s

Passo 3

A principio a gente podia pensar em usar a equação de Torricelli, mas não estamos em um movimento uniformemente variado ☹

Não tem jeito! Temos que escrever a equação horária desse movimento! Olhando o gráfico temos que a aceleração é dada por

a t = 3       p a r a   t ≤ 2 3 - 3 2 t - 2     p a r a   t > 2

Passo 4

Integrando essa equação em relação ao tempo

v t = 3 t       p a r a   t ≤ 2 3 t - 3 2 t - 2 2 2       p a r a   t > 2

Lembrando que não somei constante c na primeira parte para que a nossa velocidade no tempo t = 0 s seja nula como o enunciado fala! Também não somei na segunda parte porque essas duas partes têm que ser iguais para t = 2 , já que a velocidade é contínua!

Se você quiser calcular v ( 4 ) nesse caso vai ver que

v 4 = 3 × 4 - 3 2 4 - 2 2 2 = 12 - 3 = 9 m / s

Como a gente tinha calculado antes!

Passo 5

Agora temos que integrar de novo

s t = 3 t 2 2       p a r a   t ≤ 2 3 t 2 - 3 2 t - 2 3 2 × 3       p a r a   t > 2

De novo temos que usar as condições que s 0 = 0 e que a posição tem que ser contínua, ou seja, essas duas equações têm que dar o mesmo valor em t = 2 s

Agora basta calcular s ( 4 )

s 4 = 3 × 4 2 - 3 2 4 - 2 2 6

s ( 4 ) = 53   m

Resposta

a)

v 4 = 9   m / s

b)

s 4 = 53 m

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