Responde Aí

Em t = 0 , uma partícula localizada em x = 24   m tem uma velocidade de 8   m / s no sentido de x positivo. A aceleração da partícula varia com o tempo como mostrado na figura. Qual é a posição da partícula em t = 5   s ?

Figura: Aceleração da partícula em função do tempo

A. 18   m

B. 76   m

C. 88   m

D. 118   m

E. 148   m

Passo 1

Quando a gente tem uma aceleração igual a zero, estamos falando de um Movimento Uniforme.

Quando a gente tem uma aceleração constante, estamos falando de um Movimento Uniformemente Variado.

Mas e quando temos uma aceleração variável???

Bom, esse movimento a gente não sabe as equações para trabalhar, né.

Então, vamos ter que a partir do gráfico da aceleração a t achar a velocidade v t e a partir da velocidade v t achar a posição S t .

Vamos fazer isso usando a famosa integral.

Se integrarmos a t , achamos uma variação de velocidade ∆ v .

E se integrarmos a v t , achamos uma variação da posição ∆ S .

Passo 2

Primeiro de tudo vamos achar a função a t .

O gráfico é de uma reta, e passa pelos pontos 0,6 , 6,0 .

Assim, a equação da reta fica:

a t = 6 - t

Passo 3

Agora que temos a função da aceleração sobre o tempo, podemos integrar num intervalo para encontrar a ∆ v .

Porém, como queremos uma função v t e não especificamente a velocidade no instante 5   s , vamos integrar num intervalo de 0 até um tempo t :

∆ v = ∫ 0 t a t d t

v t - v 0 = ∫ 0 t 6 - t d t

v t = v 0 + 6 t - t 2 2

A gente sabe que a velocidade no instante inicial é v 0 = 8   m / s :

v t = 8 + 6 t - t 2 2

Estamos meio caminho andado!

Passo 4

Agora que temos a função da velocidade, podemos achar a função da posição S t .

Vamos fazer a mesma coisa que antes.

Primeiro vamos integrar sobre um intervalo de 0 a t , para achar a variação da posição ∆ S . Feito isso, vamos substituir t pelo instante 5   s :

∆ S = ∫ 0 t v t d t

S t - S 0 = ∫ 0 t 8 + 6 t - t 2 2 d t

S t = S 0 + 8 t + 6 t 2 2 - 1 2 t 3 3

Sabemos que a posição inicial é S 0 = 24   m :

S t = 24 + 8 t + 3 t 2 - t 3 6

Prontinho, temos a expressão da posição em função do tempo.

Passo 5

Agora, basta substituir o instante t = 5   s :

S 5 = 24 + 8 5 + 3 5 2 - 5 3 6

S 5 = 24 + 40 + 75 - 125 6

S 5 ≈ 118   m

Ficamos com a letra D.

Resposta

Letra (D)

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