O gráfico da velocidade em função do tempo para uma partícula que sai da origem e se move ao longo do eixo x está representado na figura 2.2 .

a) Trace os gráficos da aceleração instantânea a ( t ) e da posição x ( t ) para o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 16   s ;

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza com vocês?

Nessa questão recebemos um gráfico da velocidade de uma partícula em função do tempo e a partir dele precisamos determinar a aceleração, a t , e a posição, x ( t ) e esboçá-las em um gráfico.

Tem duas relações bem importantes envolvendo derivadas e integrais (como você preferir analisar) na cinemática. Vamos revisá-las:

a t = d v d t

E:

x t = ∫ v d t

Mas ó, a derivada da velocidade em função do tempo, graficamente é representada pela inclinação da curva em cada ponto. Ou seja, pela tangente à curva em cada ponto.

Já a integral da velocidade em função do tempo é representada graficamente pela área entre a curva e o eixo x . Como temos apenas variações uniformes da aceleração, podemos dizer que o espaço será dado por uma equação do 2 ° grau do tipo:

S = s 0 + v 0 Δ t + a Δ t 2 2

Sabendo disso, vamos encontrar a ( t ) e x ( t ) pedido na questão 😊

Passo 2

Bom, vamos começar calculando a aceleração em função do tempo.

Como comentamos no passo anterior, ela é dada pela inclinação da curva em cada ponto do gráfico.

Analisando o gráfico dado vemos que para:

0 ≤ t < 8 → temos uma reta crescente

8 ≤ t ≤ 12 → temos uma reta decrescente

12 ≤ t ≤ 16 →   temos uma reta constante

Para cada um desses trechos temos uma inclinação diferente, e portanto, uma aceleração diferente.

No primeiro trecho, a tangente da reta é dada por:

a 1 t = t g   α = v 8 - v ( 0 ) 8 - 0

∴ a 1 t = 12 8 = 1,5   m / s 2

Excelente!

No segundo trecho, teremos:

a 2 t = v 12 - v 8 12 - 8

= - 12 - 12 4

Portanto:

a 2 t = - 6   m / s 2

Já no último trecho, teremos:

a 3 t = v 16 - v 12 16 - 12

∴ a 3 t = - 12 - - 12 4 = 0   m / s 2  

Portanto, podemos escrever a ( t ) como sendo:

a t =   1,5 m s 2 ,     0 ≤ t < 8   s - 6 m s 2 ,     8 ≤ t < 12   s 0 m s 2 ,     12 ≤ t < 16   s

Plotando esses resultados em um gráfico, temos:

Excelente!

Passo 3

Agora vamos calcular a posição x ( t ) da partícula.

Como comentamos no passo 1 , devemos nos preocupar em calcular a área abaixo da curva.

Novamente, vamos dividir esse estudo nos três trechos do gráfico de v × t .

No trecho 1 ,temos uma reta cuja equação é dada por:

v = v 0 + a t

Vimos que:

a = 1,5 m / s 2

v 0 = 0 , pois a partícula parte do repouso.

Assim:

v = 1,5 ⋅

Se estivermos em um tempo t dentro do trecho 1 ( 0 ≤ t < 8 ) , a área abaixo da curva é dada por:

A 1 = 1,5 t ⋅ t 2

Logo:

A 1 = x t = 0,75 ⋅ t 2 ,               0 ≤ t < 8

Quando t = 8 , temos:

x 8 = 0,75 ⋅ 8 2

∴ x 8 = 48   m

Excelente!

No trecho 2 , até t = 1 2 a partícula tem velocidade positiva e move-se para frente. Depois desse instante ela passa a recuar.

Aqui vamos buscar calcular a posição usando a equação:

s = s 0 + v 0 Δ t + a Δ t 2 2

onde Δ t = t - 8

Para isso, vamos considerar que:

s 0 = x 8 = 48   m

a = - 6   m / s 2

E:

v 0 = v 8 = 12   m / s  

Daí, vamos ter:

x t = 48 + 12 t - 8 - 6 t - 8 2 2

= 48 + 12 t - 96 - 3 t 2 - 16 t + 64

Logo:

x t =   - 3 t 2 + 60 t - 240 ,     8 ≤ t < 12

Por fim, no último trecho, 12 ≤ t ≤ 16   s , temos a velocidade constante. Então:

s = s 0 + v Δ t

onde:

Δ t = t - 12

s 0 = x ( 12 )

=   - 3 ⋅ 12 2 + 60 ⋅ 12 - 240

∴ s 0 = 48   m

v = - 12   m / s

Temos:

x t = 48 - 12 t - 12

x t = 192 - 12 t ,                 12 ≤ t ≤ 16   s

Perfeito! Juntando tudo isso, temos:

x t = 0,75 ⋅ t 2 ,     0 ≤ t < 8 - 3 t 2 + 60 t - 240 ,     8 ≤ t < 12 192 - 12 t ,     12 ≤ t ≤ 16

A partir disso, podemos esboçar o seguinte gráfico para x × t :

Perfeito pessoal!!

Com isso, encerramos a questão!

Muito obrigado pela atenção de vocês 😉

Resposta

Resposta no texto.

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