Um objeto, partindo do repouso em t = 0   s , está se deslocando com velocidade v t = t 4 - t     ( m / s ) , ao longo do eixo x . Nestas condições, pede-se:

a) Faça o gráfico da velocidade em função do tempo para o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 6   s , indicando os instantes em que a velocidade é nula e em que ela é máxima (positiva);

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos um objeto que parte do repouso, ou seja:

v 0 = 0

E que se desloca com velocidade:

v t = t 4 - t   ( m / s )

Precisamos traçar um gráfico para essa velocidade em função do tempo para 0 ≤ t ≤ 6   s . Além disso, também precisamos calcular os instantes em que a velocidade é nula e em que ela é máxima.

Para identificar esses pontos, basta igualarmos a expressão de v t = 0 , e também identificarmos o ponto de máximo dessa função. Pra essa segunda parte podemos derivar a expressão de v ( t ) e igualar a 0 .

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar identificando os instantes em que a velocidade é nula.

Temos:

v t = t 4 - t = 0

Essa expressão só se anula, se:

t = 0   s t = 4   s

Massa!

Para identificar os pontos de velocidade máxima, vamos derivar a expressão dada e igualá-las a 0 .

Temos:

d v d t = d t 4 - t d t

= d 4 t - t 2 d t = 0

∴ 4 - 2 t = 0

Porta

t = 2   s

Nesse pontao, a velocidade deverá ser máxima.

Passo 3

Para esboçar o gráfico correspondente a essa velocidade, vamos analisar a sua expressão:

v t = t 4 - t

= 4 t - t 2

É a equação de uma parábola virada para baixo. Como já vimos no passo anterior, essa parábola possui raízes em t = 0   s e t = 4   s , e ponto de máximo em t = 2   s .

Logo, temos o seguinte gráfico:

Excelente!

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Resposta

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