Quais das seguintes séries numéricas convergem e quais divergem? Justifique as respostas.

c)

∑ n = 0 + ∞ n ! 2 n + 1 !

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar se a seguinte série S converge ou diverge:

S = ∑ n = 0 + ∞ n ! 2 n + 1 !

E aí??? Como a gente resolve isso???

Bom, uma forma é aplicarmos o Teste da Razão que pode ser entendido da seguinte forma:

Supondo a s��rie de termos positivos ∑ a n , se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o termo que vem depois dele, então:

  • Se 0 ≤ L < 1 então ∑ a n converge;
  • Se L > 1 ou L → ∞ então ∑ a n diverge;
  • Se L = 1 não podemos dizer nada.

Agora vamos aplicar esse Teste!!

😉

Passo 2

Dessa forma, sabemos que:

a n = n ! 2 n + 1 !

E

a n + 1 = n + 1 ! 2 n + 1 + 1 !

Assim, aplicando o Teste da Razão, temos:

lim n → �� ⁡ a n + 1 a n = n + 1 ! 2 n + 1 + 1 ! n ! 2 n + 1 ! ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n + 1 ! * 2 n + 1 ! 2 n + 1 + 1 ! * n ! ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n + 1 * n ! * 2 n + 1 ! 2 n + 1 + 1 ! * n ! ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n + 1 * 2 n + 1 ! 2 n + 1 + 1 ! ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n + 1 2 n + 1 2 n + 3 ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 2 2 n + 3

Aplicando o limite, temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 ∞ ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0

Dessa forma, como o resultado foi menor do que 1 , então a série converge pelo Teste da Razão.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∑ n = 0 + ∞ n ! 2 n + 1 ! converge pelo Teste da Razão

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]