Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas

  Se   ∑ n = 1 ∞ a n   converge, então   ∑ n = 1 ∞ a n 2 converge

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos ou confirmar ou dar um contraexemplo nessa afirmação aqui

Se   ∑ n = 1 ∞ a n   converge, então   ∑ n = 1 ∞ a n 2 converge

Para uma série ser convergente, ela pode passar por qualquer um dos testes de convergência

E se agora elevarmos ao quadrado o termo geral? será que essa convergência sobrevive?

Quando elevamos ao quadrado, as cosias não ficam positivas? Então é isso que vou usar aqui como contraexemplo e mostrar para você se essa afirmação está certa ou errada!

Mas antes de sair por aí escolhendo séries, vamos relembrar de dois testes bem importantes:

O Teste das Séries alternadas nos diz que supondo uma série do tipo ∑ n = 0 ∞ - 1 n a n

para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

E o outro é o Teste da Integral: supondo uma série ∑ a n cujo termo geral é decrescente e positivo, fazendo a correlação a n → f ( x ) :

  • Se ∫ 1 0 f ( x ) d x converge, então ∑ a n   converge
  • Caso contrário, ambas divergem

Agora nossa missão é pensar em uma série que seja convergente, mas que o seu quadrado não seja (assim damos um contraexemplo!)

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você! Vamos lá?

Passo 2

A primeira série que vou pegar vai ser uma alternada (pois assim o quadrado dela vira positiva sempre) e que seja convergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Pelo critério das séries alternadas:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0   ( o k ! )

2º)   a n + 1 < a n

1 1 > 1 2 > 1 3 > 1 4 … ( o k ! )

Tranquilo até aqui? Então temos que essa série é convergente! Até aqui tudo na santa paz! Mas e se elevarmos ao quadrado, será que essa convergência sobrevive?

Passo 3

Agora nossa missão é elevar ao quadrado todo termo geral e analisar a série resultante! Nossa série era

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Elevando o termo geral ao quadrado temos o seguinte:

- 1 n n 2 = - 1 2 n n 2

Para n = 1,2 , 3 …

- 1 2 n = - 1 2 ,   - 1 4 ,   - 1 6 … 1

Será sempre 1 ! Nunca vai alternar o sinal! Temos que n é sempre positivo, então

n 2 = n = n

Assim nosso termo geral se torna a série harmônica

∑ n = 1 ∞ 1 n

Legal né?

Agora vamos verificar a convergência dela: aplicando o teste da integral!

∫ 1 ∞ 1 x d x = ln ⁡ x 1 ∞ = ln ⁡ 1 - ln ⁡ ∞ = - ∞

Ou seja, a série harmônica diverge

Embora a série ∑ a n seja convergente, a série ∑ a n 2   é divergente nesse caso! E se falha em um caso, já não podemos concluir que seja verdade!

Então a afirmativa é falsa

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

f a l s o

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]