1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.

a) ∑ 3 n n 2 n !

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que dizer se a série dada no enunciado converge ou diverge.

Pra isso vamos aplicar algum teste de convergência que conhecemos.

Tem algum em mente para esse caso? 🤔

Analisando a série que temos que obter a convergência, vemos que no denominador há um n !

Quando nos deparamos com isso, muito possivelmente o teste que temos que realizar é o teste da razão, então esse será nossa primeira tentativa!

Esse teste consiste em calcular o limite de a n + 1 a n para n tendendo ao infinito. Se o limite resultar em um valor > 1 , a serie diverge. Se resultar em um valor < 1 , a serie converge. Mas se resultar em 1 , não podemos afirmar nada e então passamos para outro teste.

Bora começar! 😁

Passo 2

De maneira mais organizada, o que temos que calcular é

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

a n é dado pela serie do enunciado, ou seja

a n = 3 n n 2 n !

Já em a n + 1 substituímos n por n + 1

a n + 1 = 3 n + 1 n + 1 2 n + 1 !

Substituindo no limite, temos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 n + 1 2 n + 1 ! 3 n n 2 n !

Aqui a gente faz algumas alterações que não comprometem a fração.

Sabe que n a · n b = n a + b ?

Então começamos reescrevendo 3 n + 1 como 3 n · 3 1 , concorda?

lim n → ∞ ⁡ 3 n · 3 1 n + 1 2 n + 1 ! 3 n n 2 n !

Assim podemos simplificar 3 n do numerador e no denominador

lim n → ∞ ⁡ 3 n · 3 1 n + 1 2 n + 1 ! 3 n n 2 n ! → lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 n + 1 ! 1 n 2 n !

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Outra simplificação que podemos fazer é no fatorial de n + 1 .

Podemos escrever o primeiro termo do fatorial e deixar os outros termos dentro do fatorial, por exemplo

x ! → x · x - 1 !

Ou seja, escrevemos o primeiro termo e subtraímos 1 do fatorial.

n + 1 ! = n + 1 · n + 1 - 1 !

n + 1 ! = n + 1 · n !

Substituindo no limite...

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 n + 1 n ! 1 n 2 n !

Assim, podemos simplificar o n ! dos denominadores da fração, resultado em

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 n + 1 1 n 2

Organizando a fração pela técnica dos extremos pelos meios, temos

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n + 1 2 n + 1

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n + 1 3

Perceba que o numerador do limite é de ordem 2 e o denominador é de ordem 3. Portanto o denominador tende ao infinito mais rápido que o numerador, assim podemos considerar que estamos dividindo um número pequeno por um número muito grande, ou seja, esse limite tende a um valor muito pequeno, próximo a 0 .

Outro método para calcular esse limite é ver que 3 n 2 e n + 1 3 são positivos quando n → ∞ , logo podemos desconsiderar o módulo.

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n + 1 3

E aplicando as técnicas que já conhecemos, vamos obter o mesmo resultado!

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n + 1 3 = 0

Como o resultado foi um valor menor que 1 , a serie converge!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

A serie converge pelo teste da razão.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]