Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual o modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

  1. ∑ n = 1 ∞ n ! 2 n
  2. ∑ n = 1 ∞ 1 - 1 n n 2
  3. ∑ n = 1 ∞ n - n 2 - 1

Passo 1

Primeiramente, se acalma quando ver esse tipo de problema. Eu sei que não tem uma fórmula mágica pronta para aplicar e descobrir se converge ou não, mas normalmente o problema nos indica que tipo de teste utilizar. Veja só

Passo 2

I t e m   a )   Então, normalmente esses testes de convergência que envolvem fatorial nos sugere o teste da razão. Vamos ver se isso vai funcionar?

Se lembra do teste da razão? É aquele teste que você utiliza a divisão do próximo termo pelo anterior, dessa forma aqui:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde no nosso caso, a n = n ! n n e a n + 1 = n + 1 ! 2 n + 1 . A única chance de convergência é se ele for menor ou igual a 1,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n ≤ 1

A gente pode simplificar esse a n + 1 , pois a gente sabe que n + 1 ! = n + 1   .   n ! e pela propriedade de potência, 2 n + 1 = 2 n   .   2 . Ou seja, a n + 1 = n + 1   .   n ! 2 n   .   2 .

Se a gente jogar esses caras no limite, teremos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1   .   n ! 2 n   .   2 n ! 2 n  

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1   .   n ! 2 n   .   2   .   2 n n !  

Cortando esse 2 n e esse n !

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2

Como n vai para o infinito, ele carrega toda essa função com ele, logo

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 = + ∞

Então a série ∑ n = 1 ∞ n ! 2 n , diverge.

Passo 3

Item b) então, esse termo elevado a n 2 está nos sugerindo o teste da raiz. Veja só:

Esse teste fala que se lim n → ∞ ⁡ a n n é menor que 1 , então a série converge, então para o a n = 1 - 1 n n 2 , teremos

1 - 1 n n 2 n = 1 - 1 n n

Viu, como deu uma simplificada! :)

Para aplicar o limite e ver para onde esse cara vai, vamos usar um truque: Vamos pegar a função que passa em cima dessa sequência 1 - 1 n n , ou seja, f x = 1 - 1 x x , e vamos trabalhar normalmente para buscar o seu limite. Veja

lim n → ∞ ⁡ f x =   lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 x x

Eita! Agora temos que resolver esse limite aí. Vem comigo?

Passo 4

Note que quando n está muito grande, temos um caso do tipo 1 ∞ . Cuidado! Isso não é 1 , heim! Como a gente vai resolver então? Bem, a gente tentar transformar isso aí em L’hopital, se lembra?

Podemos utilizar aquele truque: 1 - 1 x x = e ln ⁡ 1 - 1 x x , pois assim, pela propriedade de logaritmo o x que está elevando aquele parênteses pode “cair” multiplicando:

e ln ⁡ 1 - 1 x x = e x ln ⁡ 1 - 1 x

O que a gente quer é:

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 x x = lim n → ∞ ⁡ e x ln ⁡ 1 - 1 x

Como não tem x fora da exponencial, podemos aplicar o limite no expoente x ln ⁡ 1 - 1 x

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x =

Usando aquele bizu de inverter o x ...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - 1 x 1 x

Agora é só aplicar L ' H o p i t a l

lim x → ∞ ⁡ 1 1 - 1 x 1 x 2 - 1 x 2 = - 1

Logo, verificamos que

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 x x = lim n → ∞ ⁡ e x ln ⁡ 1 - 1 x =

e lim n → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x = e - 1

Esse limite que a gente encontrou é o mesmo limites da sequência 1 - 1 n n , e como e - 1 = 1 e é menor que 1 , podemos concluir que a série ∑ n = 1 ∞ 1 - 1 n n 2 converge uniformemente:)

Passo 5

Item c) nesse item, vamos fazer uma transformação “invertendo a racionalização” multiplicando pelo conjugado desse termo. Dessa forma:

n - n 2 - 1 = n - n 2 - 1 1   . n + n 2 - 1 n + n 2 - 1

Note que não estamos mudando o valor, porque estamos multiplicando e dividindo pelo mesmo ao mesmo tempo pelo mesmo cara.

Realizando essas multiplicações vamos ganhar

n - n 2 - 1 = n 2 - n 2 - 1 n + n 2 - 1 = 1 n + n 2 - 1

Logo

∑ n = 1 ∞ n - n 2 - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n + n 2 - 1

Agora podemos resolver a série dessa sequência aí por comparação! E com quem vamos comparar? Ora, note que se a gente sumir com aquele - 1 de dentro da raiz o termo do denominador cresce, e fração inteira diminui

1 n + n 2 - 1 ≥ 1 n + n 2

Ou seja

1 n + n 2 - 1 ≥ 1 2 n

Se a gente comparar as somas, vamos ter

∑ n = 1 ∞ 1 n + n 2 - 1 ≥ ∑ n = 1 ∞ 1 2 n

∑ n = 1 ∞ 1 n + n 2 - 1 ≥ 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Sabemos que a série ∑ n = 1 ∞ 1 n é a séria harmônica e ela diverge, logo a série ∑ n = 1 ∞ n - n 2 - 1 que está por cima, também diverge! :)

Resposta

Item a)

∑ n = 1 ∞ n ! 2 n   ;         D i v e r g e

Item b)

                                                                                                      ∑ n = 1 ∞ 1 - 1 n n 2 ;           C o n v e r g e   u n i f o r m e m e n t e

Item c)

                                            ∑ n = 1 ∞ n - n 2 - 1 ;                 D i v e r g e

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que L < r < 1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n n < r quando n ≥ N .]
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   n 1 4
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 4