Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Passo 1

Normalmente, eu te diria para começar fazendo o teste da divergência, mas esse é um daqueles caso em que o limite é mais complicado. Então, vamos direto ao teste que nos interessa, que é aquele que vai nos ajudar: o teste da razão!

Quando você tem potências com o n sendo o expoente, costuma ser muito apropriado a gente fazer o teste da razão, que nada mais é que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Se esse limite estiver entre zero e um (incluindo o zero), a série converge. Se o limite for maior que um, a série diverge. Finalmente, se o limite for igual a um, não podemos concluir nada (temos que fazer outro teste)

Então, comecemos identificando os termos necessários:

a n = 2 n ! 2 n n !

a n + 1 = 2 n + 1 ! 2 n + 1 n + 1 ! = 2 n + 2 ! 2 n + 1 n + 1 !

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 ! 2 n + 1 n + 1 ! 2 n ! 2 n n ! = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 ! 2 n + 1 n + 1 ! 2 n n ! 2 n ! = lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) 2 n + 2 = ∞

Como o nosso limite deu maior que um, temos que nossa série diverge.

Resposta

A série diverge.

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞