Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

UFRJ, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 1.2c

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo?

∑ n = 1 ∞ ( - 3 ) n - 1 n

Passo 1

O teste da razão diz que:

l i m n → ∞ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o que vem depois dele.

E se: 0 ≤ L ≤ 1   e n t ã o   ∑ a n c o n v e r g e

L > 1   o u   o   l i m n → ∞ a n + 1 a n = ∞   e n t ã o     ∑ a n d i v e r g e

L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

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Passo 2

Achar a n + 1 e a n :

a n = ( - 3 ) n - 1 n

a n + 1 = ( - 3 ) n n + 1

Passo 3

Achar o limite de l i m n → ∞ a n + 1 a n :

l i m n → ∞ a n + 1 a n = l i m n → ∞ ( - 3 ) n n + 1   x   n ( - 3 ) n - 1

l i m n → ∞ ( - 3 ) n ( - 3 ) n - 1   x   n n + 1 = l i m n → ∞ 3   x   1 = 3

O teste é conclusivo.

Resposta

O teste é conclusivo e a série diverge.

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