Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes

d )   ∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n n

Passo 1

Olá galera, tudo belezinha? Essa questão está no meio de uma lista cheia de séries, vamos resolver juntos esse item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n n

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão envolvendo uma função exponencial com base em termos de n e expoente também n !

a n = n + 1 2 n n

E quando for assim a primeira coisa que você precisa lembrar é do teste da raiz!

Mas o que nos diz esse teste?

O teste da raiz avalia o comportamento no infinito da raiz de n do termo geral

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n n

Aqui podemos ter três cenários (e três conclusões diferentes):

  1. Se 0 ≤ ρ < 1   : série é convergente
  2. Se ρ = 1 : nada podemos concluir (precisamos de outro teste!)
  3. Se ρ > 1   ( o u   ρ → ∞ ) : série é divergente

Então a ideia é calcular esse ρ e torcer para que não dê a segunda conclusão!

Bora começar?

Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n n

E vamos usar o teste da raiz

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n n

Então antes de mais nada, precisamos calcular a raiz do termo geral

a n n = n + 1 2 n n n = n + 1 2 n

Beleza?

Agora nossa missão é calcular o limite quando n → ∞ ! bora lá?

Passo 3

O teste da razão é

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n n

E do passo anterior temos que

a n n = n + 1 2 n

Agora vamos colocar essa expressão no limite!

ρ = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 1 2 n = 1 2 + 1 ∞ = 1 2

Vamos relembrar quais eras as conclusões?

Então como ρ = 1 2 < 1 , concluímos que a série é convergente!

Show! Vamos para o próximo exercício?

Resposta

c o n v e r g e n t e

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]