(Capítulo 11.8 – Exercício 7) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ x n n !

Passo 1

Oieee, vamos lá pra essa questão de séries (não aquelas que a gente maratona ☹)

Temos a série

∑ n = 1 ∞ x n n !

E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Passo 3

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 1 ∞ x n n !

∑ n = 1 ∞ 1 n ! . x n

, temos que o termo que gera a potência é o x n , enquanto o c n que multiplica ele é:

c n = 1 n !

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = 1 n + 1 ! = 1 n + 1 . n ! , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 . n ! 1 n !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 . n ! × n ! 1

Cortando os termos comuns em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1

Quando temos uma constante dividida por algo que cresce muito, isso vai se aproximar de 0:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 0

Então temos que L = 0 , portanto

R = 1 L → 0 = ∞

Epa! Se o raio de convergência é infinito, quer dizer que a série vai convergir pra todos todinhos os valores de x

Então, o raio de convergência é R = ∞ e o intervalo de convergência é ( - ∞ , + ∞ )

Sem valores de x que fazem a série divergir por aqui hahahaha

Resposta

R = ∞   e   I = ( - ∞ , ∞ )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]