Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

∑ n = 1 + ∞ 4 2 k x k

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para analisarmos o raio de convergência da nossa série, primeiro precisamos ver quando ela converge, certo? Vamos dar uma olhada na série do enunciado:

∑ n = 1 + ∞ 4 2 k x k

Reparem que temos aqui uma série envolvendo potência, então vamos usar o Teste da Raiz:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   é   c o n v e r g e n t e s e   L > 1   e n t ã o   ∑ a n   é   d i v e r g e n t e s e   L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Analisando as componentes dos limites, vamos dizer que:

a n = 4 2 k x k

Show, já temos tudo, agora vamos calcular.

Passo 2

Começando a calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

a n = 4 2 k x k

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim k → ∞ ⁡ 4 2 k x k k

lim k → ∞ ⁡ 4 2 k x k k = lim k → ∞ ⁡ 4 ² x

lim k → ∞ ⁡ 4 ² x = lim k → ∞ ⁡ 16 x

Como a variável do limite é k , vamos determinar que x é uma constante, e vamos jogar pra fora:

lim k → ∞ ⁡ 16 x = x lim k → ∞ ⁡ 16

Ou seja:

L = 16 x

Pelo que vimos lá no Passo 1:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   é   c o n v e r g e n t e

Ou seja, para a nossa série convergir, precisamos que:

0 ≤ L < 1

0 ≤ 16 x < 1

0 ≤ x < 1 16

Como estamos trabalhando com módulo, importante lembrar que valores de x negativos se tornam positivos depois de aplicar o módulo, então podemos dizer:

- 1 16 < x < 1 16

Resposta

R a i o   d e   C o n v e r g ê n c i a :   1 16

I n t e r v a l o   d e   C o n v e r g ê n c i a : - 1 16 < x < 1 16

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]