Considere a série

∑ n = 0 ∞ n ! 2 k n !

Onde k é um inteiro positivo

  1. Generalize: mostre que série converge para todo k ≥ 2

Passo 1

O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:

∑ n = 0 ∞ n ! 2 k n !

Como estamos falando de uma série com fatorial, o mais indicado é o teste da razão para convergência absoluta!

Nossa série não é alternada, mas isso não tem problema! Podemos aplicar mesmo assim!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos agora analisar nossa série:

∑ n = 0 ∞ n ! 2 k n !

a n e calcular a n + 1 para poder encontrar a razão ρ = a n + 1 a n

O termo geral nesse caso é

a n = n ! 2 k n !

E fazendo n → n + 1 temos o a n + 1

a n + 1 = ( n + 1 ) ! 2 k ( n + 1 ) !

Agora podemos calcular a razão a n + 1 a n :

a n + 1 a n = ( n + 1 ) ! 2 k ( n + 1 ) !   . k n ! n ! 2

Beleza?

Calma, vamos simplificar essa coisa! Confia!

Passo 3

O próximo passo é simplificar essa razão! Como temos uma expressão com fatorial, a ideia é abrir ele até o menor deles para poder cortar. Então vamos abrir n + 1 ! até n + 1 n ! e k n + k ! Em k n + k k n + k - 1 … ( k n ) ! :

a n + 1 a n = n + 1 2 n ! 2 k n + k k n + k - 1 … ( k n ) ! . k n ! n ! 2 = n + 1 2 k n + k k n + k - 1 …

E agora precisamos calcular o limite quando n → ∞

Passo 4

ρ = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 k n + k k n + k - 1 … = ∞ ∞

Xi! Encontramos uma indeterminação!

Mas espera aí! No infinito, nós aprendemos lá no cálculo 1, que apenas os termos de mais alta potência é que importam!

Se o k for 1, quando substituirmos na série, o termo geral ficaria assim:

n ! 2 n ! = n !

E o limite desse termo geral diverge, então essa série diverge para k = 1 .

Mas para k = 2 e em diante, o limite do termo geral vai ser zero n ! 2 2 n ! → 0 ,   p a r a   n → ∞ e mais,

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 4

(dá uma olhadinha na questão 2b dessa prova =D)

E você se lembra das conclusões desse teste? Tá na mão!

E para valores maiores de k vamos ter que o denominador cresce cada vez mais, porque

ρ = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 k n + k k n + k - 1 … < 1

Então, para k ≥ 2 , temos que essa série é convergente.

Mostramos o que o problema pediu!

E é isso! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]