Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 1 ∞ ( 2 n + 3 n ) n !

Passo 1

Nessa questão, vamos aplicar o teste da razão pra decidir sobre a convergência.

O quociente a n + 1 a n será dado por:

a n + 1 a n = 2 n + 1 + 3 n + 1 ( n + 1 ) ! ( 2 n + 3 n ) n ! = 2 n + 1 + 3 n + 1 n + 1 ! n ! ( 2 n + 3 n )

E colocando 3 n + 1 3 n em evidência, vamos ter:

a n + 1 a n = 1 n + 1 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1 3 n + 1 3 n = 3 n + 1 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1

Passo 2

Então, calculando o limite desse quociente:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 lim n → ∞ ⁡ 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1

Pela regra de L’Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1 = 1

Então:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 = 0

E podemos dizer que a série converge!

Resposta

A série converge.

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