Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.1 – 2a

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 0 ∞ n ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Então, galerinha, repara que nosso somatório tem um cara de serie geométrica, mas também temos n na base. Por isso, pra decidir sobre a convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

E analisar o valor de L . Se L < 1 , então temos que a série converge.

Então, fazendo a n = n ln ⁡ n 2 n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1   2 n + 1 n ln ⁡ n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1   2 n + 1   2 n n ln ⁡ n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo esse limite, chegamos em uma indeterminação,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n = ∞ ∞

Agora pela regra de L’Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n = 1 2

Como o valor do limite L   é tal que: L < 1 , então a série converge absolutamente! Logo, converge.

Resposta

A série converge!

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